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秋田大学／2024年度

1秋田大学 2024年 数学 第1問解答・解説

数列場合の数と確率データの分析

難易度必答 レベル 2/10 目安 15分編集部の評価

対象教育文化・理工など医学科は解かない

1問題

秋田大学2024年度第1問
次の問いに答えなさい。

(i) 数列 −14, −10, −2, 10, 26, 46, ⋯-14,\,-10,\,-2,\,10,\,26,\,46,\,\cdots の一般項を求めなさい。

(ii) 大、中、小 3 個のさいころを同時に投げるとき、目の積が 4 の倍数となる場合は何通りあるか求めなさい。

(iii) 変量 xx についてのデータの値が、3 個の値 a, b, ca,\,b,\,c であり、これらの平均値が 5、標準偏差が 2 であるとき、a2+b2+c2a^{2}+b^{2}+c^{2} の値と ab+bc+caab+bc+ca の値を求めなさい。

出典：秋田大学 2024年度 数学 第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (i)
    an=2n2−2n−14a_{n}=2n^{2}-2n-14
  • (ii)
    135 通り
  • (iii)
    a2+b2+c2=87a^{2}+b^{2}+c^{2}=87、ab+bc+ca=69ab+bc+ca=69

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(i) は階差数列が 4, 8, 12, ⋯4,\,8,\,12,\,\cdots の等差数列になる。(ii) は余事象（積が奇数、または 2 で 1 回だけ割り切れる）を数える。(iii) は「分散 == 2 乗の平均 − 平均の 2 乗」と (a+b+c)2(a+b+c)^{2} の展開を使う。

解答

(i)

階差数列は 4, 8, 12, 16, 20, ⋯4,\,8,\,12,\,16,\,20,\,\cdots で、第 kk 項は 4k4k である。n≧2n\geqq2 のとき
an=−14+∑k=1n−14k=−14+2n(n−1)=2n2−2n−14 a_{n}=-14+\sum_{k=1}^{n-1}4k=-14+2n(n-1)=2n^{2}-2n-14
で、これは n=1n=1 のときも成り立つ。

(ii)

目の出方は全部で 63=2166^{3}=216 通り。積が 4 の倍数でないのは、
・3 個とも奇数：33=273^{3}=27 通り
・1 個だけが 2 または 6 で、残り 2 個が奇数：3⋅2⋅32=543\cdot2\cdot3^{2}=54 通り
の計 81 通り。よって 216−81=135216-81=135 通り。

(iii)

分散は 22=42^{2}=4 で、a2+b2+c23−52=4\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}-5^{2}=4 より a2+b2+c2=87a^{2}+b^{2}+c^{2}=87。また a+b+c=15a+b+c=15 だから
ab+bc+ca=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2=225−872=69. ab+bc+ca=\dfrac{(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}=\dfrac{225-87}{2}=69.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 階差数列
  • 余事象
  • 分散の公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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