5秋田大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(i) 定義域の内点 $-1/2<x<0$ で積の微分と合成関数の微分を用いると
$$f'(x)=-\sqrt{2x+1}-\frac{x}{\sqrt{2x+1}}=-\frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}.$$
分母は正であり、$-1/2<x<-1/3$ では $f'(x)>0$、$-1/3<x<0$ では $f'(x)<0$ だから、$x=-1/3$ で極大となる。その値は
$$f\left(-\frac13\right)=\frac13\sqrt{\frac13}=\frac{\sqrt3}{9}.$$
端点では $f(-1/2)=f(0)=0$。従って区間全体での最大値は $\sqrt3/9$、最小値は $0$ である（内点での極値は $x=-1/3$ の極大値のみ）。

(ii) 傾き1の接点のx座標を $x$ とすると
$$-\frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}=1.$$
両辺を二乗すると
$$(3x+1)^2=2x+1\quad\text{すなわち}\quad x(9x+4)=0,$$
候補は $x=0,-4/9$ である。元の式では $x=0$ は満たさず、$x=-4/9$ は満たす。接点は
$$\left(-\frac49,f\left(-\frac49\right)\right)=\left(-\frac49,\frac4{27}\right).$$
従って接線は
$$y-\frac4{27}=x+\frac49,\qquad \boxed{y=x+\frac{16}{27}}.$$

(iii) 定義域で $-x\geqq0$ かつ $\sqrt{2x+1}\geqq0$ なので、求める面積は
$$\int_{-1/2}^{0}-x\sqrt{2x+1}\,dx.$$
$u=2x+1$ と置くと $x=(u-1)/2$、$dx=du/2$ であり、積分区間は $0\leqq u\leqq1$ となる。よって
$$\int_{-1/2}^{0}-x\sqrt{2x+1}\,dx =\frac14\int_0^1(1-u)u^{1/2}\,du =\frac14\left(\frac23-\frac25\right) =\boxed{\frac1{15}}.$$