8秋田大学 2024年 数学 第8問解答・解説

$z=x+iy$\ (x,y は実数) とおくと\ $z+i\overline z=(x+y)(1+i)$ だから、条件は $x+y=1$ である。
(i) $\alpha=a+bi$ とする。\ $|z|=|z-\alpha|$ を平方して整理すると\ $2ax+2by=a^2+b^2$ を得る。\ $x+y=1$ 上で左辺が一定になるには a=b でなければならず、そのとき\ $2a=2a^2$ より $a=0,1$。$\alpha=0$ では等距離の点は平面全体となるため、$\alpha=1+i$ である。
(ii) $w=1/z$,\ $c=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ とおく。三角形 0,w,cw の面積は$\dfrac12|\overline{w}cw\text{ の虚部}|=\dfrac{\sqrt{3}}{4|z|^2}$。また\ $x+y=1$ より\ $|z|^2=x^2+y^2=\dfrac12+\dfrac{(x-y)^2}{2}\geqq\dfrac12$。したがって面積の最大値は$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で、\ $x=y=\dfrac12$ のとき達する。
(iii) $w=\dfrac{1}{z}=u+iv$,\ $x^{2}+y^{2}=N$ とする。頂点 w からの二辺は 3-w と 1+i だから、面積は$\dfrac12|\overline{3-w}(1+i)\text{ の虚部}|=\dfrac12|3-u+v|$。\ $u=\dfrac{x}{N},\quad v=-\dfrac{y}{N}$ および $x+y=1$ より\ $3-u+v=3-\dfrac{1}{N}$。\ $N\geqq\dfrac12$ なので $3-\dfrac{1}{N}\geqq1$ であり、面積の最小値は$\dfrac12$。等号は $N=\dfrac12$、すなわち\ $x=y=\dfrac12$ のとき成立する。