2札幌医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

直線の式を円の式に代入して交点を求め、判別式と交点の y 座標の正負から必要十分条件を整理する。

(1) 直線の式から$$y=\frac{1-2x}{3}$$である。これを円の式に代入すると$$x^2+\left(\frac{1-2x}{3}\right)^2=1\quad\text{すなわち}\quad 13x^2-4x-8=0.$$したがって$$x=\frac{2\pm6\sqrt{3}}{13},\qquad y=\frac{3\mp4\sqrt{3}}{13}.$$複号が同順の組のうち，$y>0$となるのは$$\left(x,y\right)=\left(\frac{2-6\sqrt{3}}{13},\frac{3+4\sqrt{3}}{13}\right)$$だけである。実際，この点は$2x+3y=1$を満たし，$$(2-6\sqrt{3})^2+(3+4\sqrt{3})^2=169$$より$x^2+y^2=1$も満たす。よって共有点はこの1点である。
(2) まず$q=0$なら，$p=0$では直線の式を満たす点がなく，$p\ne0$では$x=1/p$となるので，$C$との共有点は高々1点である。したがって2点で交わるには$q\ne0$が必要である。
$S=p^2+q^2$とおき，$q\ne0$として$y=(1-px)/q$を円の式に代入する。このとき$$Sx^2-2px+1-q^2=0.$$この二次方程式の判別式は$$D=4p^2-4S(1-q^2)=4q^2(S-1)$$であるから，異なる2点を得る条件は$S>1$である。このとき2つの交点の$y$座標は$$\frac{q+p\sqrt{S-1}}{S},\qquad\frac{q-p\sqrt{S-1}}{S}$$である。両方が$C$上にあるためには，その小さい方も正でなければならず，これは$$q>|p|\sqrt{S-1}$$と同値である。この不等式は$q>0$を含み，両辺を平方して整理すると$$q^2-p^2(S-1)=S(1-p^2)>0.$$すでに$S>1$なので，これは$|p|<1$と同値である。よって必要十分条件は$$S>1,\quad q>0,\quad |p|<1,$$すなわち$$-1<p<1,\qquad q>\sqrt{1-p^2}$$である。
$pq$平面では，$p=-1$と$p=1$の間で，円$p^2+q^2=1$の上半円より上側を塗る。上半円と直線$p=-1,1$はいずれも含まない。