6筑波大学 2024年 数学 第6問解答・解説

(1)

$\alpha=x+yi$（$y\ne 0$）、$r=|\alpha|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0$ とおく。すると
$$\dfrac{\alpha-r}{\alpha+r}=\dfrac{(x-r+yi)(x+r-yi)}{(x+r)^{2}+y^{2}}.$$
分母は正であり、分子の実部は
$$(x-r)(x+r)+y^{2}=x^{2}-r^{2}+y^{2}=0$$
となる。また分子の虚部は $2ry\ne 0$ だから、この商は純虚数である。

(2)

純虚数 $\beta$ を $\beta=it$（$t$ は実数）とおく。$\alpha+r=(x+r)+yi\ne 0$ であり、商の実部を計算すると
$$\dfrac{it-r}{(x+r)+yi}\text{ の実部}=\dfrac{-r(x+r)+ty}{(x+r)^{2}+y^{2}}.$$
これが 0 となる条件は $ty=r(x+r)$ である。$y\ne 0$ より
$$t=\dfrac{r(x+r)}{y}$$
と一意に定まり、$x+r>0$ なので $t\ne 0$ である。したがって
$$\beta=i\dfrac{r(x+r)}{y}=i\,\dfrac{|\alpha|\,(|\alpha|+x)}{y}$$
は条件を満たす純虚数であり、条件を満たすものはこれだけである。

(3)

条件を満たす $z$ は、ある実数 $t$ を用いて
$$z=r+it(\alpha+r)=(r-ty)+it(x+r)$$
と表せる。よって
$$|z|^{2}=r^{2}-2ryt+t^{2}\left(y^{2}+(x+r)^{2}\right).$$
$y^{2}+(x+r)^{2}=2r(x+r)>0$ だから、平方完成すると
$$|z|^{2}=\dfrac{r(x+r)}{2}+2r(x+r)\left(t-\dfrac{y}{2(x+r)}\right)^{2}.$$
したがって最小となるのは $t=\dfrac{y}{2(x+r)}$ のときであり、そのとき
$$z=r-\dfrac{y^{2}}{2(x+r)}+\dfrac{iy}{2}=\dfrac{r+x+yi}{2}=\dfrac{\alpha+|\alpha|}{2}$$
である。