5筑波大学 2024年 数学 第5問解答・解説

結論
$\displaystyle (1)\ x=\frac{\pi}{2},\ \pi;\qquad (2)\ a=-2\pi^2,\ b=-6\pi$　 　
積分の上端に関する微分と積の微分を用いると
$$\begin{aligned} f'(x) &=\{-4x\cos2x-2(1-2x^2)\sin2x\} +(2\sin2x+4x\cos2x)\\ &\quad-a\sin2x+bx\sin2x\\ &=(4x^2+bx-a)\sin2x. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(x)=\{-4x\cos 2x-2(1-2x^2)\sin 2x\}+(2\sin 2x+4x\cos 2x)$$$$-a\sin 2x+bx\sin 2x$$$$=(4x^2+bx-a)\sin 2x.$$
以下 $q(x)=4x^2+bx-a$ とおく。
(1) $a=8\pi^2,\ b=-4\pi$ のとき
$$q(x)=4(x-2\pi)(x+\pi)<0 \qquad (0<x<3\pi/2).$$
$\sin2x$ は $0<x<\pi/2$ と $\pi<x<3\pi/2$ で正、$\pi/2<x<\pi$ で負である。したがって $f'$ は順に負、正、負となり、
$$x=\frac{\pi}{2}\text{ で極小},\qquad x=\pi\text{ で極大}$$
である。
(2) $f$ が区間 $0<x<3\pi/2$ で極値をとらないためには、$\sin2x$ の符号が変わる各点 $x=\pi/2,\pi$ で $q$ も零でなければならない。そうでなければ $q$ はその点の近くで一定符号であり、$f'=q\sin2x$ は符号を変えて極値を生じる。$q$ は最高次係数が4の二次式なので、この二点を根にもつ条件から
$$q(x)=4\left(x-\frac{\pi}{2}\right)(x-\pi) =4x^2-6\pi x+2\pi^2.$$
これを $q(x)=4x^2+bx-a$ と係数比較して
$$a=-2\pi^2,\qquad b=-6\pi.$$
逆にこのとき、$0<x<\pi/2$、$\pi/2<x<\pi$、$\pi<x<3\pi/2$ の各範囲で $q$ と $\sin2x$ はそれぞれ同符号なので $f'(x)>0$。よって $f$ は単調増加し、極値をとらない。