I日本医科大学 2022年 数学 第I問解答・解説

以下の文中のア～サに適する1以上の整数を解答欄に記入せよ。なお、分数形で解答する場合は、既約分数で答えること。また、根号を含む形で解答する場合は、根号の中に現れる1以上の整数が最小となる形で答えよ。

$i$ を虚数単位とする。$O$ を原点とする複素数平面上において、中心が $O$、半径が2の円を $C$ とする。$C$ 上の点 $P(z)$ に対して、複素数平面上の点 $Q(w)$ を次のように定める。
$$w=\frac{(4+2i)z+4-4i}{z+2-2i}$$
点 $P(z)$ が $C$ 上を動くとき、点 $Q(w)$ は複素数 $\alpha=-\boxed{\text{ア}}i$ で表される点 $A(\alpha)$ を中心とし、半径 $r=\boxed{\text{イ}}$ の円上を動く。このとき、$z=w$ を満たす $C$ 上の点 $z$ がただ1つ存在し、その点を $B(\beta)$ とおく。$z\neq\beta$ を満たす点 $P(z)$ に対して、等式
$$\frac{z-w}{z-\beta}=\frac{z-\boxed{\text{ウ}}-\boxed{\text{エ}}i}{z+\boxed{\text{オ}}-\boxed{\text{カ}}i}$$
が成り立つことを用いると、点 $P(z)$ が $z\neq\beta$ かつ $\sqrt{5}\,\mathrm{PQ}\leqq\mathrm{BP}$ を満たしながら $C$ 上を動くとき、$\mathrm{BP}$ は最大値 $\boxed{\text{キ}}\sqrt{\boxed{\text{ク}}}$ と最小値 $\frac{\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}}{\boxed{\text{サ}}}$ をとることがわかる。ただし、複素数平面上の2点 $X,Y$ に対して、$\mathrm{XY}$ は2点 $X,Y$ 間の距離を表す。