I鳥取大学 2022年 数学 第I問解答・解説

複素数を実部・虚部に分けて$w_1$の円を得る。$w_2$の共役を成分計算して直線の式に直し、単位円条件と平方の非負性でその直線が円と交わる範囲のkの最大値を求める。

(1)　 $z=u+iv$（$u^2+v^2=1$）とおくと、
$$w_1=\frac{-1+i+z}{i}=-i(-1+i+z)=1+i-iz=(1+v)+i(1-u).$$
$w_1=X+iY$ と書けば $X-1=v,\ Y-1=-u$ だから
$$(X-1)^2+(Y-1)^2=v^2+u^2=1.$$
逆にこの円上の点に対して $u=1-Y,\ v=X-1$ とすれば $u^2+v^2=1$ となるため、軌跡は円全体である。従って中心 $(1,1)$、半径 $1$ の円
$$\boxed{(X-1)^2+(Y-1)^2=1}$$
を図示すればよい。この円は $(1,0),(0,1)$ で各座標軸に接し、$(1,2),(2,1)$ を通る。

(2)　 $w_2=x+iy$（$x,y\text{ は実数}$）とおく。 $\alpha=-1+i$ より
$$w_2\overline{\alpha}=(x+iy)(-1-i)=(y-x)-i(x+y),$$
$$\overline{w_2}\alpha=(x-iy)(-1+i)=(y-x)+i(x+y).$$
したがって与式は
$$-2i(x+y)+ki=0, \qquad x+y=\frac{k}{2}$$
となり、$w_2$ の軌跡は直線 $x+y=k/2$ である。

(1)の円との共有点では $X=x-1,\ Y=y-1$ とおくと
$$X^2+Y^2=1,\qquad x+y=2+X+Y.$$
$(X-Y)^2\geqq0$ から
$$(X+Y)^2\leqq2(X^2+Y^2)=2, \qquad X+Y\leqq\sqrt2.$$
よって $x+y\leqq2+\sqrt2$、したがって
$$k=2(x+y)\leqq4+2\sqrt2.$$
等号は $X=Y=1/\sqrt2$、すなわち $w_2=(1+1/\sqrt2)+i(1+1/\sqrt2)$ のとき成立し、この点は円上かつ直線上にある。ゆえに求める最大値は
$$\boxed{4+2\sqrt2}.$$