3高知大学 2022年 数学 第3問解答・解説

①が非実数解をもつ条件は判別式$D=a^{2}-4b<0$で、実数係数のためその2解は互いに共役な複素数である。(1)は偏角$\dfrac{\pi}{3}$の解とその共役解に解と係数の関係を適用し、$a=-r$、$b=r^{2}$（$r$は解の絶対値、$r>0$）から$b=a^{2}$、$a<0$を導く。(2)、(3)は円$C$（中心$\sqrt{3}+i$、半径1）上の点$z$が①の非実数解であるとき、他方の解が共役$\overline{z}$であることから$a=-2(z\text{の実部})$、$b=|z|^{2}$が定まることを用いる。(2)は三角不等式により$|z|$の最大値3とその達成点を求め、(3)は原点を通る直線と円の交点条件（判別式）により偏角$\arg z$の可動範囲が$0\leqq\arg z\leqq\dfrac{\pi}{3}$であることを示して、その最大値$\dfrac{\pi}{3}$の達成点を求める。

方程式は$x^{2}+ax+b=0$（$a,\,b$は実数）（①）であり、$C:\ |z-(\sqrt{3}+i)|=1$は中心$c=\sqrt{3}+i$（$|c|=2$、偏角$\dfrac{\pi}{6}$）、半径1の円である。

(1)

①は実数係数の2次方程式だから、非実数解をもつときその2解は互いに共役な複素数である。実数の偏角は0または$\pi$に限られるので、偏角が$\dfrac{\pi}{3}$となる解は非実数であり、判別式は負、したがって2解は共役な非実数の複素数の組である。
偏角$\dfrac{\pi}{3}$の解を$r\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$（$r>0$）とおくと、他方の解は共役な$r\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$である。解と係数の関係より
$$-a=r\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)+r\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=2r\cos\dfrac{\pi}{3}=r,$$
$$b=r\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot r\left(\cos\dfrac{\pi}{3}-i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)=r^{2}\left(\cos^{2}\dfrac{\pi}{3}+\sin^{2}\dfrac{\pi}{3}\right)=r^{2}.$$
よって$a=-r$、$b=r^{2}=a^{2}$である。$r>0$だから$a<0$である。
逆に$a<0$かつ$b=a^{2}$のとき、判別式は$a^{2}-4b=-3a^{2}<0$（$a\ne0$より）となり、①は非実数解$-\dfrac{a}{2}\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}|a|\,i$をもつ。$a<0$より$-\dfrac{a}{2}>0$なので、複号$+$の解は実部も虚部も正で、虚部と実部の比は$\sqrt{3}$である。よって偏角は$\dfrac{\pi}{3}$となり条件を満たす。
$$a<0\ \text{かつ}\ b=a^{2}$$
図示：$ab$平面上で、点$(a,\,b)$の軌跡は上に開いた放物線$b=a^{2}$のうち$a<0$の部分（頂点$(0,\,0)$を除く開いた枝）である。$a\to-\infty$のとき$b\to+\infty$となる、原点近傍から左上方へ伸びる一本の曲線として描かれる。

(2)

①の解の1つに対応する点$z$が$C$上にあるとする。
・$z$が実数の場合：円$C$の中心の虚部は1、半径は1だから、$C$は実軸に点$(\sqrt{3},\,0)$でのみ接する。このとき$|z|=\sqrt{3}$である。
・$z$が非実数の場合：実数係数より他方の解は$\overline{z}$であり、解と係数の関係より
$$-a=z+\overline{z}=2(z\text{の実部}),\qquad b=z\overline{z}=|z|^{2}.$$
三角不等式より、$C$上の任意の点$z$に対し
$$|z|\leqq|z-c|+|c|=1+2=3$$
であり、等号は$z$が半直線$Oc$上で中心$c$よりさらに原点から遠い点、すなわち
$$z=c+\dfrac{c}{|c|}\cdot1=\dfrac{3}{2}c=\dfrac{3}{2}(\sqrt{3}+i)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i$$
のとき成り立つ。これは非実数で$|z|=3>\sqrt{3}$だから、実数点$(\sqrt{3},\,0)$より大きい。よって$|z|$の最大値は3であり、達成点は上の非実数の$z$のみである。
このとき
$$a=-2(z\text{の実部})=-2\cdot\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=-3\sqrt{3},\qquad b=|z|^{2}=3^{2}=9.$$
また$\left|z-c\right|=\left|\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}+i)\right|=1$なので、点$z$は$C$上にある。
$$a=-3\sqrt{3},\ b=9$$

(3)

中心$c=\sqrt{3}+i$は$|c|=2>1$（半径）なので、原点は円$C$の外部にある。$C$上の点は$z=(\sqrt{3}+\cos\theta,\,1+\sin\theta)$（$0\leqq\theta<2\pi$）と表せ、実部は$\sqrt{3}+\cos\theta\geqq\sqrt{3}-1>0$、虚部は$1+\sin\theta\geqq0$だから、$C$は（実軸との接点$(\sqrt{3},\,0)$を除き）第1象限内にあり、偏角は$0\leqq\arg z<2\pi$の範囲内に収まる。
原点を通る直線$y=mx$（$m\geqq0$）と円$(x-\sqrt{3})^{2}+(y-1)^{2}=1$の共有点を調べる。代入して整理すると
$$(1+m^{2})x^{2}-(2\sqrt{3}+2m)x+3=0$$
となる。この$x$についての2次方程式の判別式は
$$\Delta=4(\sqrt{3}+m)^{2}-12(1+m^{2})=4\left[3+2\sqrt{3}m+m^{2}-3-3m^{2}\right]=8\sqrt{3}m-8m^{2}=8m(\sqrt{3}-m)$$
である。よって、$m\geqq0$のとき$\Delta\geqq0$となるのは$m\leqq\sqrt{3}$のときである。すなわち直線$y=mx$（$0\leqq m\leqq\sqrt{3}$）だけが円と共有点をもち、$m=0,\sqrt{3}$で接する（$\Delta=0$）。また$0\leqq m\leqq\sqrt{3}$のとき、2解の和$\dfrac{2(\sqrt{3}+m)}{1+m^{2}}>0$、積$\dfrac{3}{1+m^{2}}>0$だから2解とも正であり、共有点は原点から見て偏角$\theta$（$\tan\theta=m$、$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$）の方向にある。
したがって$C$上の点の偏角のとりうる範囲は$0\leqq\arg z\leqq\dfrac{\pi}{3}$であり、最大値$\dfrac{\pi}{3}$は$m=\sqrt{3}$の接点でのみ達成される。$m=\sqrt{3}$を代入すると
$$4x^{2}-4\sqrt{3}x+3=0\quad\text{より}\quad(2x-\sqrt{3})^{2}=0$$
であり、$x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$y=\sqrt{3}x=\dfrac{3}{2}$である。よって接点は$T=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{3}{2}i$（偏角$\dfrac{\pi}{3}$）である。
$T$は非実数だから他方の解は$\overline{T}$であり、
$$a=-2(T\text{の実部})=-2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3},\qquad b=|T|^{2}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=3$$
である。
$$a=-\sqrt{3},\ b=3$$