5新潟大学 2023年 数学 第5問解答・解説

逆変換を求めて単位円条件を $w$ 平面の軌跡に移し、得られた直線と原点との距離および垂線の足から最小値を求める。

(1)

$z=i$ を代入すると
$$w=-\dfrac{2i}{1+i}=-i(1-i)=-1-i$$
である。したがって実部・虚部はいずれも $-1$。

(2) 与式を整理して
$$w(z+1)=-4z+2i,\qquad (w+4)z=2i-w$$
を得る。$w=-4$ では後の式が $0=4+2i$ となり不可能なので、
$$z=\dfrac{2i-w}{w+4}.$$

(3) 逆変換と $|z|=1$ より
$$|2i-w|=|w+4|.$$
$w=x+yi$ とおくと
$$x^{2}+(2-y)^{2}=(x+4)^{2}+y^{2}\quad\text{すなわち}\quad 2x+y+3=0.$$
逆にこの直線上では $w+4\neq0$（$w=-4$ は直線上にない）なので逆変換が定まり、上の等式から $|z|=1$ を満たす。また逆変換で $z=-1$ となることは $2i=-4$ を導いて矛盾する。よって $z\neq-1$ も満たし、軌跡は直線全体である。図示するには、実軸との交点 $\left(-\dfrac{3}{2},\,0\right)$ と虚軸との交点 $(0,\,-3)$ を結ぶ。

(4)

$w$ は (3) の直線上を動くから、$|w|$ の最小値は原点からこの直線までの距離である。原点から直線 $2x+y+3=0$ に下ろした垂線の足は $\left(-\dfrac{6}{5},\,-\dfrac{3}{5}\right)$ であり、$|w|=\dfrac{3}{\sqrt{5}}$ である。このとき $w+4=\dfrac{14}{5}-\dfrac{3}{5}i$、$2i-w=\dfrac{6}{5}+\dfrac{13}{5}i$ で、(2) より
$$z=\dfrac{6+13i}{14-3i}=\dfrac{(6+13i)(14+3i)}{14^{2}+3^{2}}=\dfrac{9+40i}{41}.$$