2金沢大学 2024年 数学 第2問解答・解説

虚数単位を $i$ とし、複素数 $\alpha$ を、$\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$ とする。また、実数 $u$、$v$ に対し、複素数 $w$、$z$ を、$w=u+vi$、$z=\alpha w$ とする。次の問いに答えよ。

(1) $z$ の実部と虚部、および $|z|$ を、それぞれ $u$ と $v$ を用いて表せ。

(2) $u+\sqrt{3}v-1=0$ のとき、実数 $s$、$t$ を $s+ti=z^{2}$ で定める。$t^{2}=s+\dfrac{1}{4}$ であることを示せ。

(3) $u+\sqrt{3}v-1=0$ のとき、実数 $a$、$b$ を $a+bi=w^{2}$ で定める。$xy$ 平面において、点 $\mathrm{P}(a,\,b)$ と直線 $x-\sqrt{3}y+1=0$ の距離は、$\mathrm{P}$ と原点の距離に等しいことを示せ。