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東京大学／2024年度

1東京大学 2024年 数学 第1問解答・解説

図形と計量図形と方程式平面上の曲線と複素数平面

1問題

東京大学2024年度第1問
座標空間内の点 A(0, −1, 1)\mathrm{A}(0,\,-1,\,1) をとる。xy 平面上の点 P が次の条件 (i), (ii), (iii) をすべて満たすとする。

(i) P は原点 O と異なる。

(ii) ∠AOP≧23π\angle\mathrm{AOP}\geqq\dfrac{2}{3}\pi

(iii) ∠OAP≦π6\angle\mathrm{OAP}\leqq\dfrac{\pi}{6}

P がとりうる範囲を xy 平面上に図示せよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • y≧∣x∣y\geqq|x|、3x2+(y−1)2≦33x^2+(y-1)^2\leqq3、(x,y)≠(0,0)(x,y)\neq(0,0)

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

P=(x,y,0)P=(x,y,0), r=x2+y2>0r=\sqrt{x^2+y^2}>0 とおく。AO2=2AO^2=2, AP2=x2+y2+2y+2AP^2=x^2+y^2+2y+2 なので
cos⁡∠AOP=−y2 r.\cos\angle AOP=-\frac{y}{\sqrt2\,r}.
角度条件 ∠AOP≧2π/3\angle AOP\geqq2\pi/3 は y≧r/2y\geqq r/\sqrt2, すなわち y≧∣x∣y\geqq|x|。また
cos⁡∠OAP=y+22x2+y2+2y+2.\cos\angle OAP=\frac{y+2}{\sqrt2\sqrt{x^2+y^2+2y+2}}.
ここで y≧0y\geqq0 なので正の両辺を二乗できる。∠OAP≦π/6\angle OAP\leqq\pi/6 は 2(y+2)2≧3(x2+y2+2y+2)2(y+2)^2\geqq3(x^2+y^2+2y+2)、すなわち 3x2+(y−1)2≦33x^2+(y-1)^2\leqq3 と同値。したがって求める領域は
y≧∣x∣,3x2+(y−1)2≦3,(x,y)≠(0,0),y\geqq|x|,\qquad3x^2+(y-1)^2\leqq3,\qquad(x,y)\ne(0,0),
原点以外の境界を含む。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 距離の二乗
  • 余弦定理による変換
  • 正値確認後の平方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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