白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

慶應義塾大学／2023年度／前期

I慶應義塾大学 2023年 数学 第I問解答・解説

図形と計量いろいろな式図形と方程式微分法積分法平面上の曲線と複素数平面

1問題

慶應義塾大学2023年度第I問
以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。ただし空欄（あ）、（い）、（う）には既約分数で表される有理数を記入すること。
(1) 三角形 ABCABC において辺 BCBC を 4:34:3 に内分する点を DD とするとき、等式
(あ) AB2+(い) AC2=AD2+(う) BD2 \boxed{\text{(あ)}}\,AB^{2}+\boxed{\text{(い)}}\,AC^{2}=AD^{2}+\boxed{\text{(う)}}\,BD^{2}
が成り立つ。
(2) 式 4z2+4z−3 i=04z^{2}+4z-\sqrt{3}\,i=0 を満たす複素数 zz は2つある。それらを α,β\alpha,\beta とする。ただし ii は虚数単位である。α,β\alpha,\beta に対応する複素数平面上の点をそれぞれ P,QP,Q とすると、線分 PQPQ の長さは (え)\boxed{\text{(え)}} であり、PQPQ の中点の座標は ((お),(か))\bigl(\boxed{\text{(お)}},\boxed{\text{(か)}}\bigr) である。また、線分 PQPQ の垂直二等分線の傾きは (き)\boxed{\text{(き)}} である。
(3) 曲線 y=xlog⁡(x2+1)y=x\log(x^{2}+1) の x≧0x\geqq0 の部分を CC とすると、点 (1,log⁡2)(1,\log 2) における CC の接線 ℓ\ell の方程式は
y=(く) y=\boxed{\text{(く)}}
である。また、曲線 CC と直線 ℓ\ell、および yy 軸で囲まれた図形の面積は (け)\boxed{\text{(け)}} である。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (あ)=37,(い)=47,(う)=34;(え)=2,(お)=−12,(か)=0,(き)=−3;(く)=(log⁡2+1)x−1,(け)=12log⁡2.\text{(あ)}=\frac37,\quad \text{(い)}=\frac47,\quad \text{(う)}=\frac34;\quad \text{(え)}=\sqrt2,\quad \text{(お)}=-\frac12,\quad \text{(か)}=0,\quad \text{(き)}=-\sqrt3;\quad \text{(く)}=(\log2+1)x-1,\quad \text{(け)}=\frac12\log2.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) BD:DC の比に合わせた余弦定理の加重和で交差項を消す。(2) 二次方程式の解を複素数平面上で表し、距離と傾きを座標から計算する。(3) 微分で接線を求め、第二次導関数の符号から曲線と接線の上下関係を確かめて積分する。

解答

(1) BD:DC=4:3BD:DC=4:3 であるから、BD=4tBD=4t, DC=3tDC=3t とおく。∠ADB=θ\angle ADB=\theta とすれば、余弦定理より
AB2=AD2+16t2−8AD tcos⁡θ,AC2=AD2+9t2+6AD tcos⁡θ. AB^2=AD^2+16t^2-8AD\,t\cos\theta, \qquad AC^2=AD^2+9t^2+6AD\,t\cos\theta.
したがって交差項が消え、
37AB2+47AC2=AD2+(487+367)t2=AD2+12t2=AD2+34BD2. \frac37 AB^2+\frac47 AC^2 =AD^2+\left(\frac{48}{7}+\frac{36}{7}\right)t^2 =AD^2+12t^2 =AD^2+\frac34 BD^2.
よって (あ)=37(\text{あ})=\frac37, (い)=47(\text{い})=\frac47, (う)=34(\text{う})=\frac34 である。

(2) 判別式は
Δ=42−4⋅4⋅(−3i)=16(1+3i). \Delta=4^2-4\cdot4\cdot(-\sqrt3 i)=16(1+\sqrt3 i).
w=u+viw=u+vi（u,v>0u,v>0）を 1+3i1+\sqrt3 i の平方根とすると、u2−v2=1u^2-v^2=1, 2uv=32uv=\sqrt3 であり、両式から u2+v2=2u^2+v^2=2 を得る。よって u=62u=\frac{\sqrt6}{2}, v=22v=\frac{\sqrt2}{2} で、w=6+2i2w=\frac{\sqrt6+\sqrt2 i}{2} である。二次方程式の解は
α,β=−12±w2=−12±(64+24i). \alpha,\beta=-\frac12\pm\frac{w}{2} =-\frac12\pm\left(\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}i\right).
したがって中点は (−12,0)(-\frac12,0)、2点間の差は ww であるから
PQ=∣w∣=u2+v2=2. PQ=|w|=\sqrt{u^2+v^2}=\sqrt2.
また、PQPQ の傾きは 2/26/2=13\frac{\sqrt2/2}{\sqrt6/2}=\frac1{\sqrt3} である。垂直二等分線はこれに垂直なので傾きは −3-\sqrt3 となる。

(3) f(x)=xlog⁡(x2+1)f(x)=x\log(x^2+1) とおくと、積の微分と合成関数の微分により
f′(x)=log⁡(x2+1)+2x2x2+1,f(1)=log⁡2,f′(1)=log⁡2+1. f'(x)=\log(x^2+1)+\frac{2x^2}{x^2+1},\qquad f(1)=\log2,\qquad f'(1)=\log2+1.
よって接線は
y−log⁡2=(log⁡2+1)(x−1),y=(log⁡2+1)x−1. y-\log2=(\log2+1)(x-1),\qquad y=(\log2+1)x-1.
さらに
f′′(x)=2xx2+1+4x(x2+1)2>0(x>0) f''(x)=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{4x}{(x^2+1)^2}>0\quad(x>0)
だから、x=1x=1 における接線は 0≦x≦10\leqq x\leqq1 で曲線の下側にある。この部分の面積は
S=∫01[xlog⁡(x2+1)−{(log⁡2+1)x−1}]dx,∫01xlog⁡(x2+1) dx=[(x2+1)log⁡(x2+1)−(x2+1)2]01=log⁡2−12,∫01{(log⁡2+1)x−1} dx=log⁡2−12. \begin{aligned} S&=\int_0^1\left[x\log(x^2+1)-\{(\log2+1)x-1\}\right]dx,\\ \int_0^1x\log(x^2+1)\,dx &=\left[\frac{(x^2+1)\log(x^2+1)-(x^2+1)}2\right]_0^1 =\log2-\frac12,\\ \int_0^1\{(\log2+1)x-1\}\,dx&=\frac{\log2-1}{2}. \end{aligned}
したがって S=12log⁡2S=\frac12\log2 である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 余弦定理
  • 複素数の四則演算
  • 二次方程式の判別式
  • 座標による距離
  • 直線の方程式
  • 積の微分
  • 合成関数の微分
  • 指数・対数関数の微分
  • 第二次導関数
  • 置換積分法
  • 曲線で囲まれた面積

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

慶應義塾大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

同じ年度の次の問題第II問へ進む場合の数と確率

慶應義塾大学のほかの年度

2026202520242022