3東京大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 4種類の操作は座標の符号反転または交換を行うので、$P$ がとりうる点は
$$(\pm2,\pm1),\qquad (\pm1,\pm2)$$
の8点すべてである。

(2) $x$軸対称を $R_x(a,b)=(a,-b)$、$y$軸対称を $R_y(a,b)=(-a,b)$ とすれば $R_y=-R_x$。また $y=x$ 対称を $S(a,b)=(b,a)$、$y=-x$ 対称を $T(a,b)=(-b,-a)$ とすれば $T=-S$。各操作列で最初の操作を同確率の負の相手に置き換えると、操作列の確率を保ったまま最終点の符号が反転する。この対応は同じ操作で元に戻せる一対一の対応なので、二点 $(2,1)$ と $(-2,-1)$ に至る確率は等しい。

(3) 全体の符号を同一視した状態を
$$\begin{aligned}A&=\{(2,1),(-2,-1)\},&B&=\{(-2,1),(2,-1)\},\\ C&=\{(1,2),(-1,-2)\},&D&=\{(-1,2),(1,-2)\}.\end{aligned}$$$$A=\{(2,1),(-2,-1)\},B=\{(-2,1),(2,-1)\},$$$$C=\{(1,2),(-1,-2)\},D=\{(-1,2),(1,-2)\}.$$
とする。軸対称は合計確率 $2/3$ で $A\leftrightarrow B$、$C\leftrightarrow D$ と移り、対角線対称は合計確率 $1/3$ で $A\leftrightarrow C$、$B\leftrightarrow D$ と移る。軸対称の回数を $k$ とすると、状態 $A$ に戻るには $k$ と $n-k$ がともに偶数であることが必要十分。従って $n$ が奇数なら確率は0。$n$ が偶数の場合は $k$ が偶数であればよいので、
$$P(P_n\in A)=\sum_{k\text{ even}}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\left(\frac23\right)^k\left(\frac13\right)^{n-k} =\frac{1+(-1/3)^n}{2}=\frac{1+3^{-n}}2.$$
(2)より状態 $A$ の2点は同確率である。したがって求める確率は
$$P(P_n=(2,1))=\begin{cases}0&(n\text{ が奇数}),\\[2pt]\frac{1+3^{-n}}4&(n\text{ が偶数}).\end{cases}$$