4旭川医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

扇形と楕円を軸方向の拡大縮小で結び、対称性で面積を整理する。和集合の面積は微分して最大条件を定める。

問1(1)

$\mathrm{B}=(a\cos\theta,\ a\sin\theta)$（$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$）とおく。縦方向の縮小後は $\mathrm{C}=(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$ なので、$\tan\angle\mathrm{COA}=\dfrac{b}{a}\tan\theta=1$ である。よって $\tan\theta=\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{\tan\alpha}=\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)$ であり、$\theta=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ である。

問1(2)

縦方向に $\dfrac{b}{a}$ 倍すると面積も $\dfrac{b}{a}$ 倍になる。図形 COA の面積は次のとおり。元の扇形の面積は $\dfrac{a^{2}\theta}{2}$ なので、
$$S_{\mathrm{COA}}=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{a^{2}\theta}{2}=\dfrac{ab}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right).$$

問1(3)

楕円 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ は $(x,y)=(ar\cos\varphi,\ br\sin\varphi)$（$0\leqq r\leqq 1$）と表せる。線分 OC（$y=x$ の部分）上では $\tan\varphi=\dfrac{a}{b}$ だから $\varphi=\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ となる。軸方向の倍率によって面積は $ab$ 倍になるので、図形 COA の面積は $\dfrac{ab}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)$ である。

分割する楕円 $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ は $(x,y)=(br\cos\varphi,\ ar\sin\varphi)$（$0\leqq r\leqq 1$）と表せる。OC 上では $\tan\varphi=\dfrac{b}{a}=\tan\alpha$ なので、原点を含む側は $0\leqq\varphi\leqq\alpha$ に対応する扇形の部分であり、その面積は $m=\dfrac{ab\alpha}{2}$ である。したがって点 A を含む側は図形 COA の面積から $m$ を引いて、
$$n=\dfrac{ab}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\dfrac{ab\alpha}{2}=\dfrac{ab}{2}\left(\dfrac{\pi}{2}-2\alpha\right)$$
である。

問2(1)

各楕円の面積は $\pi ab$ である。第一象限で $y\leqq x$ の部分では、共通部分は楕円 $\dfrac{x^{2}}{b^{2}}+\dfrac{y^{2}}{a^{2}}=1$ の内側にあり、上と同じ考えで面積は $\dfrac{ab\alpha}{2}$ である。$y=x$ に関する対称性より第一象限の共通部分の面積は $ab\alpha$ であり、四つの象限の対称性より $s=4ab\alpha$ となる。
$T$ は $U_{0}$ と $V_{0}$ の対称差なので、$t=\pi ab+\pi ab-2s=2\pi ab-8ab\alpha$ である。したがって $s=t$ より $4ab\alpha=2\pi ab-8ab\alpha$、すなわち $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ である。

問2(2)

$S\cup T=U_{0}\cup V_{0}$ なので、その面積は $2\pi ab-s=ab(2\pi-4\alpha)$ である。$a^{2}+b^{2}=1$ と $\tan\alpha=\dfrac{b}{a}$ より $a=\cos\alpha,\ b=\sin\alpha$ であり、
$$f(\alpha)=\sin 2\alpha\,(\pi-2\alpha)\qquad\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{4}\right)$$
とおける。これを微分すると
$$f'(\alpha)=2\cos 2\alpha\,(\pi-2\alpha)-2\sin 2\alpha=2\cos 2\alpha\,(\pi-2\alpha-\tan 2\alpha)$$
である。
$x=2\alpha$ とおくと $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ であり、関数 $h(x)=x+\tan x$ は $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ で単調に増加し、$0$ から $+\infty$ まで増える。したがって $x+\tan x=\pi$ はただ一つの解 $x_{0}$ をもち、$f$ はその前で増加し、後で減少する。よって最大点は $\alpha_{0}=\dfrac{x_{0}}{2}$、すなわち $\tan 2\alpha_{0}=\pi-2\alpha_{0}$ の唯一解である。
$\dfrac{\pi}{3}+\tan\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+\sqrt{3}<\pi$ なので $x_{0}>\dfrac{\pi}{3}$、したがって $\alpha_{0}>\dfrac{\pi}{6}$ である。ゆえに
$$s-t=4ab\alpha_{0}-(2\pi ab-8ab\alpha_{0})=2ab(6\alpha_{0}-\pi)>0$$
となり、$s>t$ である。