6東京大学 2024年 数学 第6問解答・解説

素数は正の整数である。整数の積が素数なら、2つの因数のうち一方の絶対値は1でなければならない。

(1) $q(n)=n^2+10n+20$ とおくと $f(n)=nq(n)$ である。したがって $n=1,-1$ または $q(n)=1,-1$ を調べればよい。
$$f(1)=31,\qquad f(-1)=-11.$$
$31$ は $\sqrt{31}<6$ であり、2,3,5のいずれでも割れないから素数である。$f(-1)$ は負なので素数ではない。また、$f(0)=0$ も素数ではない。
また、
$$q(n)=1\quad\text{すなわち}\quad n^2+10n+19=0$$
の判別式は $100-76=24$ で平方数でないから、整数解はない。一方、
$$q(n)=-1\quad\text{すなわち}\quad n^2+10n+21=(n+3)(n+7)=0$$
より $n=-3,-7$ であり、$f(-3)=3$、$f(-7)=7$ はともに素数である。よって (1) の答えは $n=-7,-3,1$ である。

(2) $g(0)=0$ なので $n=0$ は対象外である。$q(n)=n^2+an+b$ とおく。$|n|\geqq2$ で $g(n)=nq(n)$ が素数なら、因数の一方が $\pm1$ なので、符号も考えると次のいずれかである。
$$n=p\geqq2,\quad q(p)=1;\qquad n=-r\leqq-2,\quad q(-r)=-1.$$
それぞれの方程式は二次方程式だから、各場合の整数候補は高々2個である。両方の種類が存在すると仮定し、$p,r\geqq2$ をそれらから取ると、
$$2=q(p)-q(-r)=(p+r)(p-r+a).$$
右辺は $p+r\geqq4$ の整数倍となるため2にはならない。従って、$|n|\geqq2$ で素数値を与える整数は一方の種類に限られ、合計高々2個である。

残る $n=1,-1$ を加えても高々4個だが、非単位の候補が2個ある場合には $n=-1$ は素数値を与えない。実際、$q(p)=1$ の相異なる2根 $p_1,p_2\geqq2$ があるとき、解と係数の関係から $a=-(p_1+p_2),\ b=p_1p_2+1$ であり、
$$g(-1)=-q(-1)=-\{1-a+b\}=-(p_1p_2+p_1+p_2+2)<0.$$
また、$q(-r)=-1$ の相異なる2候補 $r_1,r_2\geqq2$ があるとき、同様に $a=r_1+r_2,\ b=r_1r_2-1$ だから、
$$g(-1)=-q(-1)=r_1+r_2-r_1r_2=1-(r_1-1)(r_2-1)\leqq0.$$
いずれの場合も $n=-1$ は素数値を与えず、$n=1$ が加わるとしても1個までである。非単位の候補が1個以下なら、$n=1,-1$ を両方加えても合計3個以下である。従って (2) が示された。