1東京大学 2023年 数学 第1問解答・解説

$x^{2}=t$ と置換すると、$|\sin t|$ の 1 周期分の積分 $\displaystyle\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt=2$ が使える。(2) は積分区間を $A_{k}$ の和に分け、(1) の不等式ではさんで区分求積法を使う。

(1)

$x^{2}=t$ とおくと、$x>0$ で $x=\sqrt{t}$、$dx=\dfrac{dt}{2\sqrt{t}}$ だから
$$A_{k}=\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\dfrac{|\sin t|}{2\sqrt{t}}\,dt.$$
$k\pi\leqq t\leqq(k+1)\pi$ では
$$\dfrac{1}{2\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\leqq\dfrac{1}{2\sqrt{k\pi}}$$
であり、
$$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}|\sin t|\,dt=\int_{0}^{\pi}\sin t\,dt=2$$
だから
$$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq A_{k}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}.$$

(2)

積分区間を分けると
$$B_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=n}^{2n-1}A_{k}.$$
(1) より
$$\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=n}^{2n-1}\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}}\leqq B_{n}\leqq\dfrac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=n}^{2n-1}\dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}.$$
右辺は、$k=n+j$ とおくと
$$\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\dfrac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}}$$
となり、区分求積法により
$$\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{\sqrt{1+x}}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\left[2\sqrt{1+x}\right]_{0}^{1}=\dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{\pi}}$$
に収束する。左辺は、$k+1=n+j$ とおくと $\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\cdot\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{j}{n}}}$ となり、同じ値に収束する。

よって、はさみうちの原理により
$$\lim_{n\to\infty}B_{n}=\dfrac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{\pi}}.$$