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北海道大学／2025年度

3北海道大学 2025年 数学 第3問解答・解説

積分法極限

1問題

北海道大学2025年度第3問
実数 aa および自然数 nn に対して、定積分

I(a,n)=∫02πeaxsin⁡(nx)dx I (a, n) = \int_ {0} ^ {2 \pi} e ^ {a x} \sin (n x) d x

を考える。ここで e は自然対数の底である。

(1) I(a,n)I(a, n) を求めよ。

(2) an=log⁡n2π(n=1,2,3,⋯ )a_{n} = \frac{\log n}{2\pi} (n = 1, 2, 3, \cdots) のとき、極限 lim⁡n→∞I(an,n)\displaystyle \lim_{n \to \infty} I(a_{n}, n) を求めよ。
ただし、 log⁡n\log n は n の自然対数である。また、必要ならば lim⁡n→∞log⁡nn=0\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0 であることを用いてもよい。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) I(a,n)=n(1−e2πa)a2+n2I(a,n)=\dfrac{n(1-e^{2\pi a})}{a^{2}+n^{2}}。 (2) 極限 −1-1。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

J=∫02πeaxcos⁡(nx) dxJ=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}e^{ax}\cos(nx)\,dx とおく。部分積分により
I(a,n)=1−e2πan+anJ,J=−anI(a,n) I(a,n)=\dfrac{1-e^{2\pi a}}{n}+\dfrac{a}{n}J,\qquad J=-\dfrac{a}{n}I(a,n)
である。ここでは nn が自然数なので sin⁡2πn=0, cos⁡2πn=1\sin 2\pi n=0,\ \cos 2\pi n=1 を用いた。連立して
I(a,n)=n (1−e2πa)a2+n2. I(a,n)=\dfrac{n\,(1-e^{2\pi a})}{a^{2}+n^{2}}.

(2)

an=log⁡n2πa_{n}=\dfrac{\log n}{2\pi} なら e2πan=ne^{2\pi a_{n}}=n である。従って
I(an,n)=n(1−n)n2+(log⁡n)24π2=1n−11+(log⁡n2πn)2. I(a_{n},n)=\dfrac{n(1-n)}{n^{2}+\dfrac{(\log n)^{2}}{4\pi^{2}}} =\dfrac{\dfrac{1}{n}-1}{1+\left(\dfrac{\log n}{2\pi n}\right)^{2}}.
与えられた log⁡nn→0\dfrac{\log n}{n}\to 0 より、分子は −1-1 に、分母は 1 に収束するので、極限は −1-1 である。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 部分積分の連立
  • 指数対数の代入
  • 極限の正規化

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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