2東京大学 2023年 数学 第2問解答・解説

等確率な色列を数え、隙間に玉を置く方法で各条件を満たす並びを数える。

各玉を区別して考えても、どの色の並びにも対応する玉の順序は $3!4!5!$ 通りで一定だから、色の並びは等確率である。

(1) 赤玉以外の8個の並びは ${}_{8}\mathrm{C}_{3}$ 通り。これらの前後および間にできる9個の隙間から4個を選び、赤玉を1個ずつ置けば、赤玉同士は隣り合わない。よって
$$p=\frac{{}_{8}\mathrm{C}_{3}{}_{9}\mathrm{C}_{4}}{\dfrac{12!}{3!4!5!}} =\frac{56\cdot126}{27720} =\frac{14}{55}.$$

(2) 赤玉が隣り合わない並びは ${}_{8}\mathrm{C}_{3}{}_{9}\mathrm{C}_{4}=7056$ 通りである。このうち黒玉も隣り合わない並びを数える。
白玉5個と黒玉3個の8個の並びで、黒玉どうしが隣り合う組（白玉を挟まずに続く2個の黒玉）の数を $m$ とする。黒玉どうしが隣り合う組の間の隙間には、必ず赤玉を置かなければならない。$m$ の値ごとの並べ方は次のとおり。
- $m=0$（黒玉が互いに離れている）：20通り
- $m=1$：30通り
- $m=2$（黒玉3個が続く）：6通り

赤玉4個は9個の隙間から相異なる4個を選んで置く。まず必ず赤玉を置く $m$ 個の隙間を決め、残りの $4-m$ 個を、残りの $9-m$ 個の隙間から選ぶ。
- $m=0$：${}_{9}\mathrm{C}_{4}=126$ 通り
- $m=1$：${}_{8}\mathrm{C}_{3}=56$ 通り
- $m=2$：${}_{7}\mathrm{C}_{2}=21$ 通り

したがって、条件をともに満たす並びは $20\cdot126+30\cdot56+6\cdot21=4326$ 通り。ゆえに
$$q=\frac{4326}{7056}=\frac{103}{168}.$$