5東京大学 2023年 数学 第5問解答・解説

$$f(x)=(x-1)^2(x-2)$$
$f(x)$ の次数は $3$ である。
(1)

$g(x)=Q(x)f(x)+r(x)$ とおく。差の因数分解から
$$g(x)^7-r(x)^7=(g(x)-r(x))\displaystyle\sum_{j=0}^{6}g(x)^{6-j}r(x)^j =Q(x)f(x)\displaystyle\sum_{j=0}^{6}g(x)^{6-j}r(x)^j$$
となる。よって $g^7$ と $r^7$ は $f$ を法として合同であり、$f$ で割った余りは等しい。

(2)

$h_1$ は $h^7$ を $f$ で割った余りだから $h_1\equiv h^7\pmod f$。 (1) を $g=h^7,\ r=h_1$ に適用すると、$h_2$ は $h^{49}$ を $f$ で割った余りである。 $h$ の次数 $2$ は $f(x)$ の次数 $3$ より小さいので
$$h_2=h\quad\text{すなわち}\quad f(x)\text{ は }h^{49}-h\text{ を割り切る}.$$
$p(x)=h(x)^{49}-h(x)$ とおく。 $u=h(1)=a+b+1,\ v=a+2,\ w=h(2)=4+2a+b$ とすれば
$$h(1+t)=u+vt+t^2.$$
したがって $p(1+t)$ の定数項と $t$ の係数は、それぞれ
$$u^{49}-u,\qquad (49u^{48}-1)v$$
である。因数 $(x-1)^2$ が $p$ を割るためには両方が0であり、因数 $x-2$ が割るためには $w^{49}-w=0$ である。ゆえに必要十分条件は
$$u^{49}-u=0,\qquad (49u^{48}-1)v=0,\qquad w^{49}-w=0.$$
実数 $y$ について $y^{49}-y=0$ なら $y=0$ または $y^{48}=1$、後者から $y=\pm1$。よって $u,w\text{ はそれぞれ }-1,0,1\text{ のいずれか}$。このいずれでも $49u^{48}-1$ は $-1$ または $48$ で0でないため $v=0$、すなわち $a=-2$ である。このとき $u=b-1,\ w=b$ なので
$$b-1=-1,0,1\text{ のいずれか},\qquad b=-1,0,1\text{ のいずれか}$$
を同時に満たす $b$ は $0,1$ のみ。逆に $(a,b)=(-2,0),(-2,1)$ はこれら三条件を満たすため、いずれも $f(x)$ は $h^{49}-h$ を割り切る、したがって $h_2=h$ となる。