3聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

$a$を正の実数、$e$を自然対数の底、
$$f(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$$
とし、座標平面上の曲線$y=f(x)$（$0\leqq x\leqq a$）を$C_a$で表す。$C_a$の長さは
$$L(a)=\int_{0}^{a}\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}\,dx$$
である。また、$g(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$とおくとき、
$$f'(x)=g(x),\qquad g'(x)=f(x),\qquad \{f(x)\}^{2}-\{g(x)\}^{2}=1$$
が成り立つ。以下の(1),(2),(4)の$\text{チ}$〜$\text{ト}$にあてはまる適切な数、および(3),(4)に対する解答を解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) $\frac{g(a)}{L(a)}$の値は$\boxed{\text{チ}}$である。

(2) $L(a)=1$のとき$f(a)$の値と$a$の値を求めると、$f(a)=\boxed{\text{ツ}}$、$a=\boxed{\text{テ}}$である。

(3) $L(a)=1$のとき$C_a$上に点$P_k(x_k,f(x_k))$（$k=0,1,2,\cdots,n$）をとり、$C_a$の長さを$n$等分する。ただし$n$は正の整数であり、$0=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=a$とする。このとき、
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(x_k)=\int_{0}^{1}\sqrt{1+t^{2}}\,dt$$
となることを示せ。

(4) $t=g(u)$という置換を用いて、定積分$\displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1+t^{2}}\,dt$を計算すると、その値は$\boxed{\text{ト}}$である。また解答用紙の所定の欄に$\text{ト}$の計算過程を記せ。