6東京大学 2023年 数学 第6問解答・解説

上面から直接届く球領域と、4本の上辺を回って届く側面領域に分け、断面積の積分で体積を求める。

(1)

立方体内部の点は条件を満たし、境界は体積に影響しない。

まず線分 $\mathrm{OP}$ 自体で到達する外部領域を考える。線分が立方体から出るとき、表面 $S$ を避けてそのまま進めるのは、正の $z$ 成分が最大となり上面から出る場合である。球 $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leqq3$ の方向を、絶対値最大となる座標成分と符号によって分けると6つの合同な領域になる。正の $z$ 成分が最大となる領域の体積は球の $\dfrac{1}{6}$ で $\dfrac{2\pi\sqrt{3}}{3}$。この領域の立方体内の部分は、底面積4、高さ1の四角錐で、体積は $\dfrac{4}{3}$。したがって上面から直接届く外部部分の体積は
$$D=\dfrac{2\pi\sqrt{3}}{3}-\dfrac{4}{3}.$$
球内で $z<-1$ の点は、条件 (iv) を満たす線分 $\mathrm{ON}$ が上面から立方体を出る必要があるため $\mathrm{ON}\geqq1$、また $\mathrm{NP}\geqq1-z>2$ となり、長さの上限を超えて到達しない。したがって、上面直達以外に検討すべき外部点は側面の陰にある点だけである。

(2)

直接届かない側面の陰の点を考える。例えば $x>1$ で上面直達の条件 $z\geqq x$ を満たさない点 $\mathrm{P}=(x,v,z)$ では、折れ線の $xz$ 平面への射影は側面の遮蔽部分を避けて上端 $(1,1)$ を回る必要がある。$d=\sqrt{(x-1)^{2}+(z-1)^{2}}$ と置くと、射影経路の長さは少なくとも $\sqrt{2}+d$、辺方向の総変位は $|v|$ である。三角不等式より折れ線全体の長さは
$$\sqrt{(\sqrt{2}+d)^{2}+v^{2}}$$
以上となる。この下限は上辺上の $A_{u}=(1,u,1)$ を折点とする経路で達成できる。実際、その長さは $\sqrt{2+u^{2}}+\sqrt{d^{2}+(v-u)^{2}}$ であり、$u=\dfrac{\sqrt{2}\,v}{\sqrt{2}+d}$ とすればよい。予算 $\sqrt{3}$ 以下となるには
$$|v|\leqq1,\qquad d\leqq r(v)\quad\text{ただし}\quad r(v)=\sqrt{3-v^{2}}-\sqrt{2}$$
が必要十分であり、このとき選んだ $u$ は $-1\leqq u\leqq1$ を満たす。特に $|v|>1$ の領域（隣接する側面の外まで出る角の部分）は、下限が $\sqrt{2+v^{2}}>\sqrt{3}$ なので到達しない。同じ議論を正負の $x,y$ 方向の4本の上辺に適用する。外部点が隣り合う二つの側面の外まで出ている場合は、どちらかの辺方向座標が $|v|>1$ となるため上の下限で除外される。ゆえに、上面直達以外に加わる外部領域はこの4つの辺の側面領域だけである。

固定した $v$ で見ると、正の $x$ 側の到達領域は上辺を中心とする半径 $r(v)$ の半円であり、断面積は $\dfrac{\pi r(v)^{2}}{2}$。そのうち既に上面から直接届く部分は $z\geqq x$、すなわち $w=z-1\geqq t=x-1$ の扇形である。この扇形の角は $\dfrac{\pi}{4}$ なので面積は $\dfrac{\pi r(v)^{2}}{8}$。よって直接領域に加える側面部分は、上辺1本あたり
$$\dfrac{3\pi}{8}\int_{-1}^{1}r(v)^{2}\,dv.$$
到達する追加部分では他の水平座標が $|v|\leqq1$ なので、4辺の追加領域は互いに重ならない。

$\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ と置き、$v=\sqrt{3}\sin\theta$ と置換すると
$$\int_{-1}^{1}\sqrt{3-v^{2}}\,dv=3\int_{-\alpha}^{\alpha}\cos^{2}\theta\,d\theta=3\alpha+\sqrt{2}.$$
したがって
$$\begin{aligned} I=\int_{-1}^{1}r(v)^{2}\,dv &=\int_{-1}^{1}(\sqrt{3-v^{2}}-\sqrt{2})^{2}\,dv\\ &=\dfrac{28}{3}-2\sqrt{2}(3\alpha+\sqrt{2})=\dfrac{16}{3}-6\sqrt{2}\alpha. \end{aligned}$$$$I={\int }_{-1}^{1}r(v{)}^{2}dv={\int }_{-1}^1(\sqrt{3-v^2}-\sqrt{2}{)}^{2}dv$$$$=\frac{28}{3}-2\sqrt{2}(3\alpha +\sqrt{2})=\frac{16}{3}-6\sqrt{2}\alpha .$$
4辺分の追加体積は $4\cdot\dfrac{3\pi}{8}I=8\pi-9\sqrt{2}\pi\alpha$。立方体の体積8と外部の直接領域 $D$ を加えると、$W$ の体積は
$$8+D+8\pi-9\sqrt{2}\pi\alpha=\dfrac{20+2\pi\sqrt{3}}{3}+8\pi-9\sqrt{2}\pi\alpha.$$