II順天堂大学 2025年 数学 第II問解答・解説

$\square$ に適する解答をマークせよ。ただし、同じ記号の $\square$ がある場合は同一の値がはいる。

3次関数 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\ (a\neq0)$ について、以下の(a)、(b)、(c)それぞれの場合における定数 $a,b,c,d$ の値を求めよ。

(a) 3次関数 $f(x)$ は以下の条件(i)、(ii)を満たす。

条件(i)：$y=f(x)$ のグラフは直線 $y=6x$ と3個の共有点 $(-2,-12)$、$(1,6)$、$(4,24)$ を持つ。

条件(ii)：$f(x)$ の $x=-2$ における微分係数が $-3$ である。

このとき、条件(i)より
$$f(x)-6x=a\left(x+\boxed{\text{ア}}\right)\left(x-\boxed{\text{イ}}\right)\left(x-\boxed{\text{ウ}}\right)$$
となる。ただし、$\boxed{\text{イ}}<\boxed{\text{ウ}}$ である。さらに、条件(ii)を考慮して
$$a=\frac{\boxed{\text{エオ}}}{\boxed{\text{カ}}},\qquad b=\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}},\qquad c=\boxed{\text{ケ}},\qquad d=\boxed{\text{コサ}}$$
を得る。

(b) 3次関数 $f(x)$ は以下の条件(i)、(ii)を満たす。

条件(i)：$y=f(x)$ のグラフは直線 $y=6x$ と点 $(1,6)$ で接し、かつ共有点 $(4,24)$ を持つ。

条件(ii)：$y=f(x)$ のグラフは直線 $y=6x-12$ と接する。

このとき、
$$a=\boxed{\text{シ}},\qquad b=\boxed{\text{スセソ}},\qquad c=\boxed{\text{タチ}},\qquad d=\boxed{\text{ツテト}}$$
である。

(c) 3次関数 $f(x)$ は以下の条件(i)、(ii)を満たす。

条件(i)：$y=f(x)$ のグラフは直線 $y=6x$ と点 $(1,6)$ で接し、他に共有点はない。

条件(ii)：$f(x)$ は $x=-3$ で極値をとる。

このとき、
$$a=\frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}},\qquad b=\frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}},\qquad c=\frac{\boxed{\text{ハヒ}}}{\boxed{\text{フ}}},\qquad d=\frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}$$
である。