2名古屋大学 2023年 数学 第2問解答・解説

円の交点条件と連立方程式で範囲・座標を得る。回転体を線分部と円弧部の断面で積分し、rを無次元変数に置いて最大化する。

($q=a-b$) とおく。

(1) ($a>b$) なので2円が異なる2点で交わるための条件は、中心間距離 ($a$) が半径の差より大きく和より小さいこと、すなわち
$$\boxed{a-b<r<a+b}$$
である。

(2) 交点 ($P=(h,y)$) は円の方程式
$$h^2+y^2=r^2,\qquad(h-a)^2+y^2=b^2$$
を満たす。差を取ると ($2ah-a^2=r^2-b^2$) であるから
$$\boxed{h(r)=\frac{a^2+r^2-b^2}{2a}}.$$
また ($q<h<r$) は、($h-q=\frac{r^2-q^2}{2a}>0$) と ($r-h=\frac{b^2-(a-r)^2}{2a}>0$) から従う。

(3) ($P$) の高さを ($y_P=\sqrt{r^2-h^2}$) とする。($q\leqq x\leqq h$) では境界 ($RP$) の高さは ($y_P\frac{x-q}{h-q}$)、($h\leqq x\leqq r$) では円弧 ($PQ$) の高さの二乗は ($r^2-x^2$) である。回転後の断面積を積分すると
$$\begin{aligned} V(r)&=\pi\int_q^h\left(\frac{y_P(x-q)}{h-q}\right)^2dx +\pi\int_h^r(r^2-x^2)dx\\ &=\frac\pi3(r^2-h^2)(h-q)+\frac\pi3(r-h)^2(2r+h)\\ &=\boxed{\frac\pi3(r-h(r))\{2r^2-q(r+h(r))\}}. \end{aligned}$$$$V(r)=\pi {\int }_q^h{\left(\frac{y_P(x-q)}{h-q}\right)}^{2}dx+\pi {\int }_h^r(r^2-x^2)dx$$$$=\frac{\pi }{3}(r^2-h^2)(h-q)+\frac{\pi }{3}(r-h{)}^2(2r+h)$$$$=\boxed{\frac{\pi }{3}(r-h(r))\{2r^2-q(r+h(r))\}}.$$
最初の積分は線分上の高さが ($0$) から ($y_P$) まで比例して増えること、2番目は円弧が円 ($C$) の上半分であることによる。

(4) ($b>0$) を固定し、($A=\frac ab>1$)、($t=\frac{r-a}{b}$) とおく。条件(1)は ($-1<t<1$) である。($h=r-\frac{b^2(1-t^2)}{2a}$) を(3)に代入して整理すると
$$V(r)=\frac{\pi b^3}{12A^2}(1-t)(1+t)^2 \{4A^2+A-1+(3A+1)t\}.$$
($C=4A^2+A-1$)、($D=3A+1$) と置けば、($-1<t<1$) で ($F(t)=(1-t)(1+t)^2(C+Dt)>0$) であり、端で ($F(t)\to0$)。その対数微分は
$$\frac{F'(t)}{F(t)}=-\frac1{1-t}+\frac2{1+t}+\frac{D}{C+Dt}.$$
これが0となる条件を整理すると
$$(t+A)\{(3A+1)t-(A+1)\}=0.$$
一方の根 ($-A<-1$) は範囲外で、他方は ($0<t_* = \frac{A+1}{3A+1}<1$) である。従って ($V$) の最大値を与える半径は
$$\boxed{r(a)=a+b\frac{a+b}{3a+b}}.$$
($b$) を固定して ($a\to\infty$) とすると
$$\boxed{\lim_{a\to\infty}(r(a)-a)=\frac b3}.$$