3藤田医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

正12角形・正24角形の内接外接周長比較と半角公式で円周率を $\frac{31}{10}$ と $\sqrt{10}$ の間に挟む。正整数乗の厳密比較と対数の単調性で (3) を示し、その範囲から (1) の底の条件と (2) の根の整数区間を確定する。

円周率の評価を正12角形と正24角形の周長比較から導く。単位円の円周は内接正多角形の周長より大きく、外接正多角形の周長より小さい。

内接正12角形の一辺は $2\sin 15^\circ$ なので、円周の比較と半角の公式から
$$\pi>12\sin 15^\circ=6\sqrt{2-\sqrt3}.$$
ここで $97^2=9409>9408=3\cdot56^2$ より $\sqrt3<97/56$。したがって
$$\left(6\sqrt{2-\sqrt3}\right)^2>36\left(2-\frac{97}{56}\right)=\frac{135}{14}>\frac{961}{100}=\left(\frac{31}{10}\right)^2,$$
ゆえに $\pi>31/10$。

外接正24角形の一辺は $2\tan 7.5^\circ$ であるから
$$\pi<24\tan 7.5^\circ.$$
$c=\cos 15^\circ>0$ とおく。$433^2=187489<187500=3\cdot250^2$ より $\sqrt3>433/250$。また $433\cdot1936=838288>838250=3353\cdot250$ だから $433/250>3353/1936$。よって半角の公式から
$$c^2=\frac{2+\sqrt3}{4}>\frac{2+3353/1936}{4}=\frac{7225}{7744}=\left(\frac{85}{88}\right)^2,$$
したがって $c>85/88$。さらに
$$\tan^2 7.5^\circ=\frac{1-c}{1+c}<\frac{3}{173},\qquad (24\tan 7.5^\circ)^2<\frac{1728}{173}<10.$$
各量は正なので $24\tan 7.5^\circ<\sqrt{10}$、したがって $\pi<\sqrt{10}$。以上より
$$\frac{31}{10}<\pi<\sqrt{10}.$$

(3) $\left(\frac{31}{10}\right)^4=\frac{923521}{10000}>92$ より
$$\left(\frac{31}{10}\right)^8>92^2=8464>8192=2^{13},$$
したがって $2^{13/8}<31/10<\pi$。また
$$(\sqrt{10})^6=1000<1024=2^{10}=(2^{5/3})^6$$
より $\sqrt{10}<2^{5/3}$。底2の対数関数は増加するから
$$\frac{13}{8}<\log_2\pi<\frac53.$$

(1) $r=2/\pi$ とおくと、上の評価から $0<r<1$。指数関数 $r^t$ は単調である。したがって
$$f(x)=0\Longleftrightarrow r^{x-a}=1=r^0\Longleftrightarrow x-a=0.$$
唯一の実数解は $x=a$ であり、仮定 $a>0$ からこの解は $x>0$ の範囲にある。

(2) $L=\log_2\pi$ とおく。方程式を解くと
$$g_4(x)=0\Longleftrightarrow 2^4\left(\frac2\pi\right)^x=1\Longleftrightarrow 4+x\log_2\left(\frac2\pi\right)=0\Longleftrightarrow x=\frac4{L-1}.$$
(3) より $5/8<L-1<2/3$ なので、正数の逆数をとって
$$\frac32<\frac1{L-1}<\frac85,$$
したがって $6<\beta_4<32/5<7$。ゆえに $n_4=6$。