浜松医科大学 2025年数学第3問解答・解説

1問題

浜松医科大学2025年度第3問

以下の問いに答えよ。
(1) 関数

f(x)=x^{\frac{3}{2}}\ (x\geqq0)

および正の実数

a

に対して

L(a)=\int_{0}^{a}\sqrt{1+(f'(x))^{2}}\,dx

を求めよ。
(2) 関数

g(x)=\left|\left|2-x\right|-1\right|-1

に対して、

y=g(x)

のグラフをかけ。
(3)

y=x^{\frac{2}{3}}\ (x\geqq0)

と

y=g(x)

で囲まれた領域の境界線の長さを求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$L(a)=\dfrac{8}{27}\left\{\left(1+\dfrac{9a}{4}\right)^{3/2}-1\right\}$ 。
(2)
$g(x)=-x\ (x\leqq1),\ x-2\ (1\leqq x\leqq2),\ 2-x\ (2\leqq x\leqq3),\ x-4\ (x\geqq3)$ 。
(3)
境界の長さは $8\sqrt{2}+\dfrac{80\sqrt{10}-8}{27}$ 。}

解答を見る途中式つきの解答

(1)

f'(x)=\frac32\sqrt{x}

より

L(a)=\frac12\int_0^a\sqrt{4+9x}\,dx=\frac{(4+9a)^{3/2}-8}{27}=\frac8{27}\left\{\left(1+\frac{9a}{4}\right)^{3/2}-1\right\}.

(2) 絶対値の内側の符号が変わる点

x=1,2,3

で場合分けすれば

g(x)=\begin{cases}-x&(x\leqq1),\\x-2&(1\leqq x\leqq2),\\2-x&(2\leqq x\leqq3),\\x-4&(x\geqq3)\end{cases}

(3)

0<x\leqq4

では

g(x)\leqq0<x^{2/3}

で、x=0だけが交点となる。

x\geqq4

では

g(x)=x-4

。

u=x^{1/3}\geqq0

とおくと交点方程式は

u^3-u^2-4=0=(u-2)(u^2+u+2)

であり、

u^2+u+2=(u+1/2)^2+7/4>0

より唯一の実根はu=2、従ってx=8である。よって囲まれた領域の

x

の範囲は

0\leqq x\leqq8

。折れ線部分は傾きの絶対値がすべて1で横幅が合計8だから長さは

8\sqrt2

。曲線

y=x^{2/3}

の弧長は

u=x^{1/3}

とおけば

\int_0^8\sqrt{1+\frac49x^{-2/3}}\,dx=\int_0^2u\sqrt{9u^2+4}\,du=\frac{80\sqrt{10}-8}{27}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。