3大阪公立大学 2023年 数学 第3問解答・解説

第3問

(1)

$q(x)=(b-x)(x-a)$ とおくと
$$q(a)=q(b)=0,\qquad q'(a)=b-a,\qquad q'(b)=a-b,\qquad q''(x)=-2.$$
部分積分を2回用いると
$$\begin{aligned} \int_a^b q(x)f''(x)\,dx &=[q(x)f'(x)]_a^b-\int_a^b q'(x)f'(x)\,dx\\ &=-[q'(x)f(x)]_a^b+\int_a^b q''(x)f(x)\,dx\\ &=-\{(a-b)f(b)-(b-a)f(a)\}-2\int_a^b f(x)\,dx\\ &=(b-a)\{f(a)+f(b)\}-2\int_a^b f(x)\,dx. \end{aligned}$$$${\int }_a^{b}q(x)f^{\prime \prime }(x)dx=[q(x)f^{\prime }(x){]}_a^b-{\int }_a^b{q}^{\prime }(x)f^{\prime }(x)dx$$$$=-[q^{\prime }(x)f(x){]}_a^b+{\int }_a^b{q}^{\prime \prime }(x)f(x)dx$$$$=-\{(a-b)f(b)-(b-a)f(a)\}-2{\int }_a^{b}f(x)dx$$$$=(b-a)\{f(a)+f(b)\}-2{\int }_a^{b}f(x)dx.$$
これは示すべき等式である。

(2)

$f(x)=\log x$ とし、問1を $a=t,\ b=t+1$ に適用する。$f''(x)=-1/x^2$ なので、求める差を
$$I=\int_t^{t+1}\log x\,dx-\frac12\{\log t+\log(t+1)\}$$
とおけば
$$I=\frac12\int_t^{t+1} \frac{(t+1-x)(x-t)}{x^2}\,dx.$$
ここで $u=x-t$ とすると $0\leqq u\leqq1$ であり、
$$(t+1-x)(x-t)=u(1-u)\geqq0,\qquad u(1-u)\leqq\frac14,\qquad x\geqq t>0.$$
従って
$$0\leqq I\leqq\frac18\int_t^{t+1}\frac{dx}{x^2} =\frac18\left(\frac1t-\frac1{t+1}\right),$$
となり、両側の不等式が示された。

(3)

問2の差を $I_k$ と書くと、任意の自然数 $k$ に対し
$$0\leqq I_k= \int_k^{k+1}\log x\,dx-\frac12\{\log k+\log(k+1)\} \leqq\frac18\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right).$$
これを $k=1,\,2,\,\cdots,\,n-1$ について加える。台形和は
$$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\log k+\log(k+1)}2 =\sum_{k=2}^{n-1}\log k+\frac12\log n =\log(n!)-\frac12\log n$$
であり、また
$$\int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1.$$
従って
$$\sum_{k=1}^{n-1}I_k =\int_1^n\log x\,dx-\log(n!)+\frac12\log n$$
より
$$a_n=1+\frac12\log n-\sum_{k=1}^{n-1}I_k.$$
上の評価を足すと、$n\geqq2$ について
$$1+\frac12\log n-\frac18\left(1-\frac1n\right) \leqq a_n\leqq 1+\frac12\log n.$$
$\log n>0$ で割り、$n\to\infty$ とすると、両端とも $1/2$ に収束する。はさみうちの原理により
$$\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\log n}=\frac12}$$
である。