II日本医科大学 2022年 数学 第II問解答・解説

$n$ を1以上の整数とし、$x,y$ を1以上 $n$ 以下の整数とする。中が見えない2つの箱 $A,B$ があり、$A$ には赤球 $x$ 個と白球 $n-x$ 個が、$B$ には赤球 $y$ 個と白球 $n-y$ 個が、それぞれ入っている。どの目も出る確率が $\frac{1}{6}$ である1つのさいころを1回投げて、1の目が出たら $A$ から1球を取り出し、1以外の目が出たら $B$ から1球を取り出すことを考える。その結果、赤球が取り出されたとき、この赤球が $A$ から取り出された確率を $p$ として以下の各問いに答えよ。
問1 $p$ を求めよ。答えのみでよい。
問2 $\frac{1}{6}\leqq p\leqq\frac{2}{7}$ を満たす座標平面上の点 $(x,y)$ の個数 $N(n)$ を求めよ。
問3 問2の $N(n)$ に対して、$N(n)<2022$ を満たす最大の整数 $n$ を求めよ。