4大阪医科薬科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

1から3までの数字が1つずつ書かれた3枚のカードが入っている箱と、頂点が反時計回りに $A,B,C$ の順に並んでいる正三角形 $ABC$ がある。箱から1枚のカードを取り出し、数字を確認してからもとに戻す。このとき、点 $P$ を以下の規則にしたがって正三角形の頂点を移動させ、移動した頂点に応じて文字列を作る試行を行う。文字列は左から順に $\bigcirc$、$\times$ を書くものとする。
規則：
1回目は次のようにする。
1の書かれたカードが取り出されたときは点 $P$ を頂点 $A$ におき、文字 $\bigcirc$ を書く。
2の書かれたカードが取り出されたときは点 $P$ を頂点 $B$ におき、文字 $\times$ を書く。
3の書かれたカードが取り出されたときは点 $P$ を頂点 $C$ におき、文字 $\times$ を書く。
2回目以降は次のようにする。
$k\ (k=1,2,3)$ の書かれたカードが取り出されたとき、点 $P$ がおいてある頂点から反時計回りに $k$ 個先の正三角形の頂点に移動し、移動した頂点が $A$ のときは既にある文字列の右側に $\bigcirc$ を、移動した頂点が $A$ 以外のときは既にある文字列の右側に $\times$ を書く。
例えば、3回の試行において取り出されたカードに書かれた数字が順に $1,2,3$ のとき、点 $P$ は $A\to C\to C$ と移動し、得られる文字列は $\bigcirc\times\times$ である。この試行を $n\ (n\geqq 2)$ 回繰り返したとき、文字列中に $\times$ が連続しない確率を $p_n$ とする。
(1) $p_2,p_3,p_4$ を求めよ。
(2) $p_n\ (n\geqq 2)$ を求めよ。