4奈良県立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

以下の空欄を適切に埋めて文章を完成させよ。
1から6の目があるサイコロを使ったゲームを行う。プレイヤーは初め数直線上の $x=4$ の位置にいて、以下のルールに従って移動する。
プレイヤーが $x=a$ の位置にいるとき、サイコロを振って、出た数が $a$ より大きければ $x=a+1$ に移動し、出た数が $a$ 以下ならば $x=a-1$ に移動する。
プレイヤーが $x=0$ か $x=6$ に到達した時点でゲームを終了する。
(1) サイコロを2回振ってゲームが終了する確率は $\boxed{\text{ア}}$。
(2) サイコロを $2n$ 回振ってゲームが終了する確率 $P_{n}$ を求める。$2n$ 回でゲームが終了するためには、$2(n-1)$ 回後の位置が $x=2$ か $x=4$ でなければならない。$2(n-1)$ 回後の位置が $x=2$ である確率を $a_{n-1}$、$x=4$ である確率を $b_{n-1}$ とすると
$$P_{n}=\boxed{\text{イ}}(a_{n-1}+b_{n-1})$$
が成り立つ。また、$x=2$ または $x=4$ の状態からサイコロを2回振って位置が $x=2$ または $x=4$ になる確率を考えると、$a_{k}$ と $b_{k}$ は漸化式
$$a_{k+1}=\boxed{\text{ウ}}a_{k}+\boxed{\text{エ}}b_{k},\qquad b_{k+1}=\boxed{\text{エ}}a_{k}+\boxed{\text{ウ}}b_{k}$$
を満たすから
$$a_{k+1}+b_{k+1}=\boxed{\text{オ}}(a_{k}+b_{k})$$
が成り立つ。したがって $P_{n}=\boxed{\text{カ}}$。