6京都大学 2025年 数学 第6問解答・解説

偶奇を符号差として表し、最後の硬貨の表裏で状態分けして漸化式を作る。

各 $n$ について、$Y_n$ が偶数となる確率から奇数となる確率を引いた値を $q_n$ とする。また、$a_n=P(Y_n\text{ が偶数},X_n=0)-P(Y_n\text{ が奇数},X_n=0)$、$b_n=P(Y_n\text{ が偶数},X_n=1)-P(Y_n\text{ が奇数},X_n=1)$ とおけば、$q_n=a_n+b_n$ である。
$n$ 回目が裏なら新たな隣接する表の組は増えず、表・裏のどちらからでも確率 $1/2$ で裏になる。したがって $n\geqq2$ で $a_n=(a_{n-1}+b_{n-1})/2=q_{n-1}/2$ である。一方、$n$ 回目が表のとき、直前が裏なら符号差は変わらず、直前が表なら $Y$ の偶奇が反転するので、$b_n=(a_{n-1}-b_{n-1})/2$ となる。よって $n\geqq2$ で $q_n=a_n+b_n=a_{n-1}$、したがって $n\geqq3$ では $q_n=a_{n-1}=q_{n-2}/2$ を得る。
$Y_1=0$ より $q_1=1$ である。また2回の結果は $HH,HT,TH,TT$ が同確率で、$HH$ のときだけ $Y_2$ が奇数だから $q_2=3/4-1/4=1/2$ である。漸化式を偶数番目と奇数番目に分けて繰り返すと、$m\geqq1$ で $q_{2m}=2^{-m}$、$m\geqq0$ で $q_{2m+1}=2^{-m}$ となる。したがって $q_n=2^{-[ n/2]}$ である。
$q_n=P(Y_n\text{ が偶数})-P(Y_n\text{ が奇数})=1-2p_n$ だから、$p_n=(1-q_n)/2=\boxed{(1-2^{-[ n/2]})/2}$。