3熊本大学 2022年 数学 第3問解答・解説

接線条件を式で表して方程式に帰着し、三角関数の周期と tan t - t の単調増加から接点の並びと間隔を示す。

(1)

接点の $x$ 座標を $a$ とすると、接線は
$$y-\sin a=\cos a(x-a)$$
である。この直線が $(-p,0)$ を通るから
$$\sin a=(a+p)\cos a.$$
もし $\cos a=0$ ならば、この等式の左辺は $1$ または $-1$、右辺は $0$ となり矛盾する。したがって $\cos a\ne0$ であり、両辺を $\cos a$ で割ると
$$\tan a=a+p$$
を得る。よってこれはすべての $a_n$ について成り立つ。

(2)

$\tan a_n=a_n+p>0$ なので、$a_n$ は $k=0,1,2,\cdots$ に対する区間
$$k\pi<a_n<k\pi+\dfrac{\pi}{2}$$
のいずれかにある。$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ で $g(t)=\tan t-t$ とおくと、
$$g'(t)=\tan^2 t>0,\qquad \displaystyle\lim_{t\to +0}g(t)=0,\qquad \displaystyle\lim_{t\to\dfrac{\pi}{2}-0}g(t)=+\infty.$$
したがって、各 $k=0,1,2,\cdots$ に対し、$g(t)=k\pi+p$ を満たす $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲の $t$ がただ一つ存在する。よって各区間に解がただ一つあり、解の順序から
$$a_n=(n-1)\pi+t_n\quad (0<t_n<\dfrac{\pi}{2})$$
と書ける。このとき、$\tan a_n=a_n+p$ と $\tan a_n=\tan t_n$ より
$$g(t_n)=(n-1)\pi+p,\qquad g(t_{n+1})=n\pi+p.$$
$g$ は この範囲の任意の $u,v$ について、$u<v$ ならば $g(u)<g(v)$ を満たすから $t_{n+1}>t_n$ である。したがって
$$a_{n+1}-a_n=\pi+t_{n+1}-t_n>\pi.$$

(3)

$a_1=\dfrac{\pi}{3}$ を (問1) に代入すると
$$p=\tan\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}-\dfrac{\pi}{3}.$$
(問2) の不等式を $j=1,2,\cdots,n$ について加えると
$$a_{n+1}-a_1=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}(a_{j+1}-a_j)>n\pi.$$
ゆえに (問1) より
$$\tan a_{n+1}=a_{n+1}+p>a_1+n\pi+p =\dfrac{\pi}{3}+n\pi+\sqrt{3}-\dfrac{\pi}{3} =n\pi+\sqrt{3},$$
となる。