t=logx とおくと
x=et、
f(x)=e−tsint、
dt/dx=1/x=e−t である。したがって
f′(x)f′′(x)=e−tdtd(e−tsint)=e−2t(cost−sint)=x2cos(logx)−sin(logx),=e−tdtd{e−2t(cost−sint)}=e−3t(sint−3cost)=x3sin(logx)−3cos(logx).f′(x)=e−tdtd(e−tsint)=e−2t(cost−sint)=x2cos(logx)−sin(logx),f′′(x)=e−tdtd{e−2t(cost−sint)}=e−3t(sint−3cost)=x3sin(logx)−3cos(logx).よって (1) の答えを得る。
(2)
t=logx は
x>1 のもとで
t>0 を動き、
f′(x)=0 は
cost−sint=0、すなわち
t=4π+kπ (k は整数) と同値である。区間
2(n−1)π<t<2nπ に入る解は
t=αn∗:=2(n−1)π+4π,t=βn∗:=2(n−1)π+45πの2つだけである。それぞれに対応する
x を
αn=e2(n−1)π+π/4,βn=e2(n−1)π+5π/4とする。第1の点では
f′′(αn)=−2e−3(2(n−1)π+π/4)<0,第2の点では
f′′(βn)=2e−3(2(n−1)π+5π/4)>0.したがって前者は極大点、後者は極小点であり、導関数の零点が各区間内にこの2つだけなので、それぞれただ1つである。
(3)
r=e−6π (0<r<1) とすると、上の値は等比級数となり
n=1∑∞f′′(αn)=−1−e−6π2e−3π/4,n=1∑∞f′′(βn)=1−e−6π2e−15π/4.よって両和は収束し、
π1{logn=1∑∞f′′(αn)−logn=1∑∞f′′(βn)}=π1log(2e−15π/4/(1−e−6π)2e−3π/4/(1−e−6π))=π1log(e3π)=3.π1{logn=1∑∞f′′(αn)−logn=1∑∞f′′(βn)}=π1log(2e−15π/4/(1−e−6π)2e−3π/4/(1−e−6π))=π1log(e3π)=3. 
白衣のものさし
