4大阪公立大学 2022年 数学 第4問解答・解説

以下 $a=\alpha/2$ と略記する。

(1)

定義を代入し、加法定理を用いると
$$\begin{aligned} f(t)\sin a+g(t)\cos a &=2\cos t\sin a+\cos2t\sin a +2\sin t\cos a-\sin2t\cos a\\ &=2\sin(t+a)+\sin(a-2t)\\ &=2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right) -\sin\left(2t-\frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}$$$$f(t)\sin a+g(t)\cos a=2\cos t\sin a+\cos 2t\sin a+2\sin t\cos a-\sin 2t\cos a$$$$=2\sin (t+a)+\sin (a-2t)$$$$=2\sin \left(t+\frac{\alpha }{2}\right)-\sin \left(2t-\frac{\alpha }{2}\right).$$
よって示された。

(2)

問1の右辺を
$$F(t)=2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right) -\sin\left(2t-\frac{\alpha}{2}\right)$$
とおくと、$F(\alpha)=\sin(3\alpha/2)$ である。また和積の公式から
$$\sin\left(2t-\frac{\alpha}{2}\right) +\sin\frac{3\alpha}{2} =2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right)\cos(t-\alpha).$$
したがって
$$\begin{aligned} F(t)-F(\alpha) &=2\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right) \{1-\cos(t-\alpha)\}\\ &=4\left(\sin\frac{t-\alpha}{2}\right)^2 \sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}$$$$F(t)-F(\alpha )=2\sin \left(t+\frac{\alpha }{2}\right)\{1-\cos (t-\alpha )\}$$$$=4{\left(\sin \frac{t-\alpha }{2}\right)}^2\sin \left(t+\frac{\alpha }{2}\right).$$
問1を $t=\alpha$ に適用すると
$F(\alpha)=f(\alpha)\sin(\alpha/2)+g(\alpha)\cos(\alpha/2)$ なので、左辺 $F(t)-F(\alpha)$ は問2の左辺そのものである。よって求める等式が成り立つ。

(3)

媒介変数表示を微分すると
$$\begin{aligned} f'(t)&=-2\sin t-2\sin2t =-4\sin\frac{3t}{2}\cos\frac{t}{2},\\ g'(t)&=2\cos t-2\cos2t =4\sin\frac{3t}{2}\sin\frac{t}{2}. \end{aligned}$$$$f^{\prime }(t)=-2\sin t-2\sin 2t=-4\sin \frac{3t}{2}\cos \frac{t}{2},$$$$g^{\prime }(t)=2\cos t-2\cos 2t=4\sin \frac{3t}{2}\sin \frac{t}{2}.$$
$0<\alpha<2\pi/3$ より
$\sin(3\alpha/2)>0$、$\cos(\alpha/2)>0$ であるから $f'(\alpha)\ne0$。したがって接線の傾きは
$$\frac{g'(\alpha)}{f'(\alpha)} =-\tan\frac{\alpha}{2}.$$
$-\pi/3<-\alpha/2<0$ なので $-\alpha/2$ は指定された $\theta$ の範囲内にある。ゆえに
$$\boxed{\theta=-\frac{\alpha}{2}}.$$

(4)

接線の方向ベクトルは
$$(f'(\alpha),g'(\alpha)) =4\sin\frac{3\alpha}{2} \left(-\cos\frac{\alpha}{2},\ \sin\frac{\alpha}{2}\right)$$
である。よってこの接線の方程式は
$$(x-f(\alpha))\sin\frac{\alpha}{2} +(y-g(\alpha))\cos\frac{\alpha}{2}=0.$$
問2より、この直線上にある曲線上の点 $(f(t),g(t))$ は
$$4\left(\sin\frac{t-\alpha}{2}\right)^2 \sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right)=0$$
を満たす。点 $(f(t),g(t))$ が $C_1$ または $C_2$ 上にある場合は $0<t-\alpha<2\pi$ であり、$t-\alpha$ は $2\pi$ の倍数ではない。したがって
$$\sin\left(t+\frac{\alpha}{2}\right)=0.$$

$2\pi/3<t<4\pi/3$ なら $2\pi/3<t+\alpha/2<5\pi/3$ であり、正弦が0となるのは $t+\alpha/2=\pi$ のときだけである。よって
$$t_1=\pi-\frac{\alpha}{2}$$
が $P_1$ の媒介変数である。同様に $4\pi/3<t<2\pi$ なら $4\pi/3<t+\alpha/2<7\pi/3$ であり、正弦が0となるのは $t+\alpha/2=2\pi$ のときだけなので、
$$t_2=2\pi-\frac{\alpha}{2}=t_1+\pi$$
が $P_2$ の媒介変数である。ここで $t_1,t_2$ は、それぞれ定められた $C_1,C_2$ の区間内にある。

任意の $t$ について
$$f(t+\pi)-f(t)=-4\cos t,\qquad g(t+\pi)-g(t)=-4\sin t.$$
ゆえに
$$P_1P_2 =\sqrt{(f(t_1+\pi)-f(t_1))^2+(g(t_1+\pi)-g(t_1))^2} =4\sqrt{\cos^2t_1+\sin^2t_1} =4.$$
したがって線分 $P_1P_2$ の長さは $\alpha$ によらず、常に
$$\boxed{4}$$
である。