5大阪大学 2022年 数学 第5問解答・解説

曲線を中心 $(e^\pi,0)$ から見た極座標で表すと $r=e^t,\ \theta=t$ である。半径は狭義に増えるため曲線は自己交差しない。さらに
$$x'(t)=e^t(\cos t-\sin t)$$
は $t=\pi/4$ で符号が変わる。したがって $x$ は $0\leqq t\leqq\pi/4$ で増加し、その後は減少する。$x(0)=e^\pi+1$, $x(\pi)=0$ とおき、減少する範囲で $\pi/4<t_1<\pi$ を満たすただ一つの $t_1$ を $x(t_1)=x(0)$ で定める。

同じ $x$ をもつ前半・後半の2点のパラメータを $t_-<t_+$ とする。$0\leqq t\leqq\pi$ では $y(t)\geqq0$ であり
$$y(t)^2=e^{2t}-(x-e^\pi)^2.$$
同じ $x$ に対して右辺は $t$ とともに増加するから、$y(t_+)>y(t_-)$。従って後半の枝が上側になる。

縦の細い帯で面積を足す。$0\leqq x\leqq x(0)$ では下端が $x$ 軸、上端が後半の曲線 ($t_1\leqq t\leqq\pi$)。$x(0)\leqq x\leqq x(\pi/4)$ では上端が後半の曲線 ($\pi/4\leqq t\leqq t_1$)、下端が前半の曲線 ($0\leqq t\leqq\pi/4$)。各単調な枝で $dx=x'(t)dt$ と置換すると
$$\begin{aligned} S&=-\int_{t_1}^{\pi}y(t)x'(t)\,dt-\int_{\pi/4}^{t_1}y(t)x'(t)\,dt-\int_0^{\pi/4}y(t)x'(t)\,dt\\ &=-\int_0^\pi y(t)x'(t)\,dt. \end{aligned}$$$$S=-{\int }_{t_1}^{\pi }y(t)x^{\prime }(t)dt-{\int }_{\pi /4}^{t_1}y(t)x^{\prime }(t)dt-{\int }_0^{\pi /4}y(t)x^{\prime }(t)dt$$$$=-{\int }_0^{\pi }y(t)x^{\prime }(t)dt.$$
ここで $y=e^t\sin t$, $x'=e^t(\cos t-\sin t)$ だから
$$S=\int_0^\pi e^{2t}(\sin^2t-\sin t\cos t)\,dt =\frac12\int_0^\pi e^{2t}(1-\cos2t-\sin2t)\,dt.$$
部分積分（または直接微分）で
$$\int_0^\pi e^{2t}\,dt=\frac{e^{2\pi}-1}{2},\quad \int_0^\pi e^{2t}\cos2t\,dt=\frac{e^{2\pi}-1}{4},\quad \int_0^\pi e^{2t}\sin2t\,dt=-\frac{e^{2\pi}-1}{4}.$$
よって
$$S=\frac12\left(\frac{e^{2\pi}-1}{2}-\frac{e^{2\pi}-1}{4}+\frac{e^{2\pi}-1}{4}\right) =\boxed{\frac{e^{2\pi}-1}{4}}.$$