1大阪大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$w=1$ とすると、元の式 $z+w=zw$ は $z+1=z$ となり矛盾するので、$w\ne 1$ である。したがって
$$z=\dfrac{w}{w-1}.$$
$z$ が中心 $\dfrac{3}{2}$、半径 $r$ の円周上にある条件に代入すると
$$\left|\dfrac{w}{w-1}-\dfrac{3}{2}\right|=\left|\dfrac{3-w}{2(w-1)}\right|=r,$$
すなわち
$$|w-3|=2r|w-1|.\tag{1}$$
変形は $w\ne 1$ のもとで同値であり、(1) を満たす $w$ から $z=\dfrac{w}{w-1}$ を定めれば元の条件も満たす。したがって (1) は軌跡の必要十分条件である。

$r=\dfrac{1}{2}$ のとき、$w=x+iy$ とすると
$$(x-3)^{2}+y^{2}=(x-1)^{2}+y^{2},$$
ゆえに $x=2$ である。軌跡は、$w$ の実部が 2 である直線、すなわち直線 $x=2$ である。

$r\ne\dfrac{1}{2}$ のとき、(1) を 2 乗して整理すると
$$(1-4r^{2})(x^{2}+y^{2})+(8r^{2}-6)x+9-4r^{2}=0.$$
平方完成して
$$\left(x-\dfrac{3-4r^{2}}{1-4r^{2}}\right)^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{4r}{1-4r^{2}}\right)^{2}.$$
よって軌跡は、中心 $\left(\dfrac{3-4r^{2}}{1-4r^{2}},\,0\right)$、半径 $\dfrac{4r}{|1-4r^{2}|}$ の円周である。

与式から $z$ を $w$ で表し、円周の条件を $w$ の絶対値の式へ移す。$r=\dfrac{1}{2}$ は直線となり、それ以外は平方完成した円となる。