1福島県立医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)

$a=\sqrt{2-\sqrt{3}}$、$b=\sqrt{2+\sqrt{3}}$ は正の数で、$ab=\sqrt{4-3}=1$、$a^{2}+b^{2}=4$ である。よって $(a+b)^{2}=4+2=6$ より $a+b=\sqrt{6}$。また $(b-a)^{2}=4-2=2$ で $b>a$ より $b-a=\sqrt{2}$ である。
$s_{n}=b^{n}-a^{n}$ とおくと、$b^{n}-a^{n}=(a+b)(b^{n-1}-a^{n-1})-ab(b^{n-2}-a^{n-2})$ より
$$s_{n}=\sqrt{6}\,s_{n-1}-s_{n-2}$$
である。$s_{0}=0$、$s_{1}=\sqrt{2}$ から順に計算すると
$$s_{2}=2\sqrt{3},\quad s_{3}=5\sqrt{2},\quad s_{4}=8\sqrt{3},\quad s_{5}=19\sqrt{2},\quad s_{6}=30\sqrt{3},\quad s_{7}=71\sqrt{2}$$
となる。よって $b^{7}-a^{7}=71\sqrt{2}$ であり、$c=71$、$d=2$ である。

(2)

$3^{n}$ を 5 で割った余り $r_{n}$ は、$n=1,\,2,\,3,\,4,\,\cdots$ で $3,\,4,\,2,\,1,\,\cdots$ と繰り返すので、周期は 4 である。$r_{n+m}=r_{n}$ がすべての自然数 $n$ で成り立つのは、$3^{m}$ を 5 で割った余りが 1 のときである。$m=1,\,2,\,3$ では余りは 1 にならず、$m=4$ で初めて 1 になるので、最小の $m$ は 4 である。
次に、2023 を 5 で割った余りは 3 なので、$2023^{2023}$ を 5 で割った余りは $r_{2023}$ に等しい。$2023=4\cdot 505+3$ より $r_{2023}=r_{3}=2$ である。よって余りは 2 である。

(3)

クラス X、Y の人数は 60 人、40 人なので、全体の平均点が 60 点より
$$\dfrac{60\bar{x}+40\bar{y}}{100}=60\quad\text{つまり}\quad 3\bar{x}+2\bar{y}=300$$
である。全体の分散は、群内の分散と群の平均の 60 からのずれを使って
$$87=\dfrac{1}{100}\left\{60\left(83+(\bar{x}-60)^{2}\right)+40\left(78+(\bar{y}-60)^{2}\right)\right\}$$
となるので、$60(\bar{x}-60)^{2}+40(\bar{y}-60)^{2}=600$ である。
$u=\bar{x}-60$、$v=\bar{y}-60$ とおくと、$3\bar{x}+2\bar{y}=300$ より $3u+2v=0$ なので $v=-\dfrac{3}{2}u$ である。これを代入して
$$60u^{2}+40\cdot\dfrac{9}{4}u^{2}=150u^{2}=600$$
より $u^{2}=4$、すなわち $u=\pm 2$ である。
$u=2$ のとき $\bar{x}=62$、$\bar{y}=57$ となり $\bar{x}<\bar{y}$ を満たさない。$u=-2$ のとき $\bar{x}=58$、$\bar{y}=63$ となり条件を満たす。よって $\bar{x}=58$ である。

(4)

$\sqrt{3}+3i=2\sqrt{3}\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$ より、$f(x)$ は複素数値関数 $e^{(\sqrt{3}+3i)x}$ の実部である。よって $f^{(n)}(x)$ は $(\sqrt{3}+3i)^{n}e^{(\sqrt{3}+3i)x}$ の実部であり、
$$f^{(n)}(x)=(2\sqrt{3})^{n}e^{\sqrt{3}x}\cos\left(3x+\dfrac{n\pi}{3}\right)$$
である。$n=50$ のとき $\dfrac{50\pi}{3}=16\pi+\dfrac{2\pi}{3}$ なので、$(2\sqrt{3})^{50}e^{\sqrt{3}x}>0$ より、$f^{(50)}(x)=0$ は $\cos\left(3x+\dfrac{2\pi}{3}\right)=0$ と同じである。
よって $3x+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$（$k$ は整数）より $x=\dfrac{(6k-1)\pi}{18}$ である。$0\leqq x\leqq 2\pi$ を満たすのは $1\leqq k\leqq 6$ のときで、
$$x=\dfrac{5\pi}{18},\ \dfrac{11\pi}{18},\ \dfrac{17\pi}{18},\ \dfrac{23\pi}{18},\ \dfrac{29\pi}{18},\ \dfrac{35\pi}{18}$$
である。