3大阪医科薬科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1)

実数係数を $c_{0},\,c_{1},\,\cdots,\,c_{n}$ として
$$f(x)=c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_{1}x+c_{0},\qquad c_{j}\text{ は実数}$$
とおく。複素数の和・積と実数係数の性質から
$$f(\overline{a})=c_{n}(\overline{a})^{n}+\cdots+c_{1}\overline{a}+c_{0}=\overline{c_{n}a^{n}+\cdots+c_{1}a+c_{0}}=\overline{f(a)}=0.$$
したがって $\overline{a}$ も $f(x)=0$ の解である。

(2)

$m=2n+1$ とおき、複素数平面で
$$\omega=\cos\dfrac{2\pi}{m}+i\sin\dfrac{2\pi}{m},\qquad z_{k}=\omega^{k}\quad(0\leqq k\leqq m-1)$$
とする。ド・モアブルの定理より $z_{k}$ は $z^{m}=1$ の相異なる解であり、頂点を $A_{k}$ に対応させると $A_{0}$ は $z_{0}=1$、$A_{k}$ は $z_{k}$ である。従って
$$A_{0}A_{k}=|1-z_{k}|.$$
多項式 $X^{m}-1$ はこれらを根にもつので
$$X^{m}-1=(X-1)(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots(X-z_{m-1}).$$
また $X^{m}-1=(X-1)(1+X+\cdots+X^{m-1})$ であるから、$X=1$ とおくと
$$m=(1-z_{1})(1-z_{2})\cdots(1-z_{m-1}).$$
絶対値をとれば
$$m=|1-z_{1}|\cdot|1-z_{2}|\cdots|1-z_{m-1}|.$$
$z_{m-k}=\overline{z_{k}}$ であり、$|1-z_{m-k}|=|1-z_{k}|$ だから、この積は
$$|1-z_{1}|^{2}\cdot|1-z_{2}|^{2}\cdots|1-z_{n}|^{2}=\left(A_{0}A_{1}\cdot A_{0}A_{2}\cdots A_{0}A_{n}\right)^{2}=L^{2}$$
に等しい。$L$ は線分の長さの積なので正であり、$L=\sqrt{m}=\sqrt{2n+1}$ である。