1九州大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 実数範囲では解なし。複素数範囲では左辺は $(x^2-x+1)^2$ と因数分解できる。従って
$$x=\frac{1+i\sqrt3}{2},\quad\frac{1-i\sqrt3}{2}$$
で、いずれも重解である。

(2) 三角形の頂点は異なるため $\beta-\alpha\ne0$。$z=(\gamma-\alpha)/(\beta-\alpha)$ とおく。与式を $(\beta-\alpha)^4$ で割ると
$$1+(1-z)^4+z^4=2(z^2-z+1)^2=0.$$
したがって(1)から $z=(1\pm i\sqrt3)/2$。いずれも $|z|=|z-1|=1$ であるから、$AC/AB=BC/AB=1$。従って三辺が等しい正三角形である。逆に正三角形ならこの二つの $z$ のどちらかになるので、確かに与式を満たす。