5大阪医科薬科大学 2023年 数学 第5問解答・解説

9進法で末尾に並ぶ0を9の因数の個数に読み替え、階乗中の3の個数を3,9,27,…の倍数を数えて計算した。一般不等式は有限等比和で評価し、最小値は境界の隣接する二つの階乗を比べて決めた。

$n!$ の末尾に9進法で $0$ が $t$ 個並ぶことは、$9^t$ が $n!$ を割り切ることと同値である。$V_3(n!)$ を $n!$ に含まれる素因数3の個数とすると
$$f(n)=\left[\frac{V_3(n!)}2\right].$$
$1$ から $n$ までの整数のうち、3の倍数からは少なくとも3が1個、9の倍数からはさらに1個、27の倍数からはさらに1個、と数えることで
$$V_3(n!)=\left[\frac n3\right]+\left[\frac n{3^2}\right]+\left[\frac n{3^3}\right]+\cdots$$
を得る（$3^j>n$ の項は0である）。

(1) $8!=1\cdot2\cdots8$ に含まれる3の個数は $[8/3]=2$ なので $f(8)=1$。
$$\begin{aligned} V_3(6789!)&=\left[\frac{6789}{3}\right]+\left[\frac{6789}{9}\right]+\left[\frac{6789}{27}\right]+\left[\frac{6789}{81}\right]\\ &\quad+\left[\frac{6789}{243}\right]+\left[\frac{6789}{729}\right]+\left[\frac{6789}{2187}\right]+\left[\frac{6789}{6561}\right]\\ &=2263+754+251+83+27+9+3+1=3391. \end{aligned}$$$$V_3(6789!)=\left[\frac{6789}{3}\right]+\left[\frac{6789}{9}\right]+\left[\frac{6789}{27}\right]+\left[\frac{6789}{81}\right]$$$$+\left[\frac{6789}{243}\right]+\left[\frac{6789}{729}\right]+\left[\frac{6789}{2187}\right]+\left[\frac{6789}{6561}\right]$$$$=2263+754+251+83+27+9+3+1=3391.$$
よって $f(6789)=[3391/2]=1695$。

(2) $f(n)=k$ ならば $2k\leqq V_3(n!)$。$3^J\leqq n<3^{J+1}$ となる整数 $J$ をとると
$$V_3(n!)\leqq\sum_{j=1}^{J}\frac{n}{3^j} =\frac n2\left(1-\frac1{3^J}\right)<\frac n2.$$
従って $2k<n/2$、すなわち $4k<n$。

(3) $n=4007$ と $n=4008$ について順に計算すると
$$V_3(4007!)=1335+445+148+49+16+5+1=1999,$$
$$V_3(4008!)=1336+445+148+49+16+5+1=2000.$$
したがって $f(4007)=999$、$f(4008)=1000$。$V_3(n!)$ は $n$ とともに減少しないため $f(n)$ も減少しない。よって $f(n)=1000$ となる最小の正整数は $4008$ である。