5鹿児島大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1)

分母を払った差の分子は
$$(1+iz_1)(z_2+i)-(1+iz_2)(z_1+i)=2(z_2-z_1).$$
$z_1\ne z_2$ なら0でないから、分数の値は異なる。

(2)

方程式を整理すると $(w-i)z=1-iw$。$w\ne i$ より
$$z=\dfrac{1-iw}{w-i}.$$
この解が $-i$ なら交差乗算式 $w(z+i)=1+iz$ の左辺は0、右辺は2となり矛盾する。

(3)

$$w-\dfrac i2=\dfrac{3+iz}{2(z+i)}.$$
従って $|w-i/2|=1/2$ は $|3+iz|=|z+i|$ と同値。$z=x+iy$ とすると
$$(3-y)^2+x^2=x^2+(y+1)^2\text{、すなわち } y=1.$$
よって $b=1$。

分母を払って差を計算すると、等式成立は $2(z_2-z_1)=0$ を意味するため、異なる $z_1,z_2$ では値も異なる。(2)は方程式を $z$ について解けばよい。得られた $z$ が $-i$ なら元の交差乗算式で $0=2$ となるので、除外点ではない。(3)では $w-\dfrac{i}{2}=\dfrac{3+iz}{2(z+i)}$。絶対値条件は $|3+iz|=|z+i|$ と同値であり、$z=x+iy$ とおいて二乗を比較すると $(3-y)^2=(y+1)^2$、したがって $y=1$。