4高知大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $\alpha+\dfrac{1}{\alpha}=\sqrt{3}$ の両辺に $\alpha$（$\alpha\neq0$）を掛けると
$$\alpha^{2}-\sqrt{3}\,\alpha+1=0 .$$
判別式は $D=3-4=-1<0$ であるから，解は
$$\alpha=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}$$
の2つである。いずれも $|\alpha|^{2}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1$ より $|\alpha|=1$ を満たす。

$\alpha=\dfrac{\sqrt{3}+i}{2}$ のとき，実部・虚部がともに正で $\tan(\arg\alpha)=\dfrac{1/2}{\sqrt3/2}=\dfrac{1}{\sqrt3}$ となるから $\arg\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ であり，条件 $0<\arg\alpha<\pi$ を満たす。

$\alpha=\dfrac{\sqrt{3}-i}{2}$ のときは虚部が負であるから $\arg\alpha=-\dfrac{\pi}{6}$（すなわち $\dfrac{11\pi}{6}$）となり，$0<\arg\alpha<\pi$ を満たさないので不適である。

したがって条件を満たす $\alpha$ はただ1つに定まり，
$$\boxed{\alpha=\frac{\sqrt{3}+i}{2}=\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}}$$
である。

(2) (1)より $|\alpha|=1$，$\alpha=e^{i\pi/6}$ であるから，$\dfrac{1}{\alpha}=\bar\alpha=e^{-i\pi/6}$ である。ド・モアブルの定理により
$$\alpha^{20}+\frac{1}{\alpha^{20}}=e^{i\cdot20\cdot\frac{\pi}{6}}+e^{-i\cdot20\cdot\frac{\pi}{6}}=2\cos\!\left(\frac{20\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(\frac{10\pi}{3}\right).$$
$\dfrac{10\pi}{3}=2\pi+\dfrac{4\pi}{3}$ であるから $\cos\dfrac{10\pi}{3}=\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac12$。よって
$$\alpha^{20}+\frac{1}{\alpha^{20}}=2\times\left(-\frac12\right)=\boxed{-1}.$$

(3) $\alpha^{4}=e^{i\cdot4\cdot\frac{\pi}{6}}=e^{i\frac{2\pi}{3}}=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}i$ であり，$|\alpha^{4}|=1$ である。

複素数 $z\neq0$ に対し $\dfrac{\beta}{\alpha^{4}}$ が実数（かつ $0$ でない）となるための必要十分条件は
$$\arg\beta\equiv\arg(\alpha^{4})\pmod{\pi}$$
である。$\beta=k+\dfrac{\sqrt6}{2}i$ が純虚数（$k=0$）であれば $\arg\beta=\pm\dfrac{\pi}{2}$ となり $\arg(\alpha^4)=\dfrac{2\pi}{3}$ と $\bmod\ \pi$ で一致しないので $k\neq0$ である。$k\neq0$ のとき，この条件は
$$\tan(\arg\beta)=\tan\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\sqrt3$$
と同値であり，$\tan(\arg\beta)=\dfrac{\sqrt6/2}{k}$ であるから
$$\frac{\sqrt6/2}{k}=-\sqrt3 \text{であるための必要十分条件は} k=-\frac{\sqrt6}{2\sqrt3}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
よって
$$\boxed{\beta=-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i}$$
である。

$$\frac{\beta}{\alpha^{4}}=\beta\cdot\overline{\alpha^{4}} =\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt6}{2}i\right)\left(-\frac12-\frac{\sqrt3}{2}i\right).$$
実部は $\dfrac{\sqrt2}{4}+\dfrac{\sqrt{18}}{4}=\dfrac{\sqrt2}{4}+\dfrac{3\sqrt2}{4}=\sqrt2$，虚部は $\dfrac{\sqrt6}{4}-\dfrac{\sqrt6}{4}=0$ となり，確かに $\dfrac{\beta}{\alpha^4}=\sqrt2$（実数）である。

(4) (3)の結果より $|\beta|=\sqrt{k^{2}+\dfrac{6}{4}}=\sqrt{\dfrac12+\dfrac32}=\sqrt2$ であり，かつ $\arg\beta=\dfrac{2\pi}{3}=\arg(\alpha^{4})$ であるから，$\beta=\sqrt2\,\alpha^{4}$ と表せる。したがって
$$\beta^{n}=2^{\frac n2}\,\alpha^{4n}\qquad(n=1,2,3,\dots).$$

点Aが線分OB上に存在することは，ある実数 $s$（$0\leqq s\leqq1$）が存在して $\alpha^{n}=s\,\beta^{n}$ となることと同値である。$\alpha^{n}\neq0$ で両辺を割ると
$$\alpha^{n}=s\cdot2^{\frac n2}\alpha^{4n} \text{であるための必要十分条件は} \alpha^{3n}=\frac{1}{s\cdot2^{n/2}} .$$
右辺は実数であるから，左辺 $\alpha^{3n}=e^{in\pi/2}$ も実数でなければならない。これは $\dfrac{n\pi}{2}$ が $\pi$ の整数倍，すなわち $n$ が偶数のときに限る。

$n$ が奇数のときは $\alpha^{3n}$ が実数にならず不適。$n=2m$（$m$ は正の整数）とおくと $\alpha^{3n}=e^{im\pi}=(-1)^{m}$ である。

・ $m$ が奇数（$n\equiv2\pmod4$）のとき $\alpha^{3n}=-1$ となり，$s=-2^{-n/2}<0$ となって $0\leqq s\leqq1$ を満たさない。

・ $m$ が偶数（$n\equiv0\pmod4$）のとき $\alpha^{3n}=1$ となり，$s=2^{-n/2}$ である。$n\geqq4$ より $0<s\leqq\dfrac14<1$ となり条件を満たす。

したがって条件を満たす正の整数 $n$ は $n\equiv0\pmod4$ に限られ，最小のものは
$$\boxed{n=4}$$
である（このとき $s=\dfrac14$ で，A は線分OBを内分する点として実際に線分上にある）。

このとき，$\beta^{4}=2^{2}\alpha^{16}=4\alpha^{4}$（$\alpha^{16}=\alpha^{12}\cdot\alpha^{4}$ で $\alpha^{12}=(\alpha^{6})^{2}$，$\alpha^{6}=e^{i\pi}=-1$ より $\alpha^{12}=1$，よって $\alpha^{16}=\alpha^{4}$）であるから，線分ABの長さは
$$AB=\left|\beta^{4}-\alpha^{4}\right|=\left|(4-1)\alpha^{4}\right|=3\left|\alpha^{4}\right|=3\times1=\boxed{3}$$
である（$|\alpha|=1$ より $|\alpha^{4}|=1$）。