3新潟大学 2023年 数学 第3問解答・解説

集合を定める多項式を因数分解すると
$$P_A(x)=(x-1)(x-(k+2))(x+(k+2)),\qquad P_B(x)=(x^2+k^2)(x-(k^2+3k+3)).$$
$x,k$ は実数なので、$P_B$ の第1因子が0になるのは $k=x=0$ の場合だけである。$r=k^2+3k+3$ とおく。

(1)

$k=-1$ のとき
$A=\{1,-1\}$、$B=\{1\}$ なので、$A\cap B=\{1\}$、$A\cup B=\{-1,1\}$ である。

(2)

$B\subset A$ となる条件
$k\ne0$ なら $B=\{r\}$ である。$r$ が $1,k+2,-(k+2)$ のいずれかと等しいことが必要十分であり、それぞれの条件は
$$r=1\quad\text{すなわち}\quad(k+1)(k+2)=0,\qquad r=k+2\quad\text{すなわち}\quad(k+1)^2=0$$
である。また $r=-(k+2)$ は $k^2+4k+5=0$ となり、実数解をもたない。したがって0でない解は $k=-1,-2$ である。$k=0$ では $B=\{0,3\}$、$A=\{1,2,-2\}$ だから包含関係は成り立たない。よって $\boxed{k=-2,-1}$。

(3)

$A\cup B$ の要素の個数
$A$ の要素が2個になるのは $k=-2,-1,-3$ の場合だけで、それ以外では3個である。$k\ne0$ のとき、(2)の計算から $A$ と $B$ が共通の要素をもつのは $k=-2,-1$ の場合だけである。$k=0$ のとき、$A=\{1,2,-2\}$ と $B=\{0,3\}$ には共通の要素がない。したがって
$$\boxed{|A\cup B|=\begin{cases}2&k=-2,-1,\\3&k=-3,\\5&k=0,\\4&\text{それ以外}.\end{cases}}$$