I関西医科大学 2023年 数学 第I問解答・解説

(1)

$$\begin{aligned} (a+1)(a-1)(b+1)(b-1)-4ab &=(a^2-1)(b^2-1)-4ab\\ &=a^2b^2-a^2-b^2+1-4ab\\ &=(ab-1)^2-(a+b)^2\\ &=(ab-a-b-1)(ab+a+b-1). \end{aligned}$$$$(a+1)(a-1)(b+1)(b-1)-4ab=(a^2-1)(b^2-1)-4ab$$$$=a^2{b}^2-a^2-b^2+1-4ab$$$$=(ab-1{)}^2-(a+b{)}^2$$$$=(ab-a-b-1)(ab+a+b-1).$$

よって因数分解は
$$\boxed{(ab-a-b-1)(ab+a+b-1)}$$
である。

(2)

(1)の因数分解を用いると、与式の等式は
$$(ab-a-b-1)(ab+a+b-1)=0$$
と同値である。整数の積が $0$ となるのは少なくとも一方の因数が $0$ のとき、かつそのときに限るので、次の二つの場合を解けばよい。

場合1：
$$ab-a-b-1=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (a-1)(b-1)=2.$$
$x=a-1,\ y=b-1$ とおく。条件 $a<b$ は $x<y$ と同値で、$x,y$ は積が $2$ となる整数である。積が正なので $x,y$ は同符号である。正の因数の組は $(1,2),(2,1)$、負の因数の組は $(-1,-2),(-2,-1)$ であり、$x<y$ を満たすものは $(1,2),(-2,-1)$ だけである。したがって
$$(a,b)=(2,3),\ (-1,0).$$

場合2：
$$ab+a+b-1=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad (a+1)(b+1)=2.$$
今度は $x=a+1,\ y=b+1$ とおくと、やはり $x<y$ で $xy=2$ である。上と同じ因数の列挙から $(x,y)=(1,2),(-2,-1)$ となり、
$$(a,b)=(0,1),\ (-3,-2).$$

二つの場合から得られた組は重複せず、いずれも元の積が $0$ となる因数分解を満たすので、必要十分に全解である。よって $a<b$ の組は
$$(-3,-2),\ (-1,0),\ (0,1),\ (2,3)$$
の4組である。そのうち $a,b$ がともに正であるのは $(2,3)$ のみ。

$$\boxed{\text{ア}=4,\qquad \text{イ}=(2,3)}$$