4新潟大学 2023年 数学 第4問解答・解説

接点での関数値と導関数の一致から接点とbを決め、軸と二曲線に囲まれた領域を定積分で求める。

(1) $\frac{d}{dx}e^{ax}=ae^{ax}$。また、$x>\frac b2$ において
$\frac{d}{dx}\sqrt{2x-b}=\frac12(2x-b)^{-1/2}\cdot 2=\frac1{\sqrt{2x-b}}$。

(2) 接点を $P=(p,y)$ とする。関数値の一致から $y=e^{ap}=\sqrt{2p-b}>0$、接線の傾きの一致から
$ae^{ap}=\frac1{\sqrt{2p-b}}=\frac1y$。
したがって $ay^2=1$ であり、$y=\frac1{\sqrt a}$。これを $e^{ap}=y$ に代入すると
$ap=-\frac12\log a$、よって $p=-\frac{\log a}{2a}$。
また $2p-b=y^2=\frac1a$ から
$b=2p-\frac1a=-\frac{\log a+1}{a}$。
$b>0$ なので $\log a+1<0$、すなわち $0<a<\frac1e$。ゆえに
$P=\left(-\frac{\log a}{2a},\frac1{\sqrt a}\right)$。

(3) $2p-b=\frac1a>0$ より $p>\frac b2>0$。また
$C_1(b/2)=e^{ab/2}>0=C_2(b/2)$ で、二曲線の交点は $P$ だけなので、$b/2<x<p$ では $C_1$ が上側である。求める領域は、$0\leqq x\leqq b/2$ では $C_1$ と $x$ 軸の間、$b/2\leqq x\leqq p$ では $C_1$ と $C_2$ の間にある。したがって
$S=\int_0^p e^{ax}\,dx-\int_{b/2}^p\sqrt{2x-b}\,dx$。
$e^{ap}=\frac1{\sqrt a}$、$2p-b=\frac1a$ を用いると
$$S=\frac{e^{ap}-1}{a}-\left[\frac{(2x-b)^{3/2}}3\right]_{b/2}^{p} =\frac{a^{-1/2}-1}{a}-\frac1{3a^{3/2}} =\frac{2-3\sqrt a}{3a^{3/2}}.$$