6新潟大学 2023年 数学 第6問解答・解説

(1) 球面Sの中心は直径ABの中点だから$$C=\left(\frac{1+1}{2},\frac{-1-1}{2},\frac{1+5}{2}\right)=(1,-1,3).$$ 半径は$|AB|/2=4/2=2$なので、$$S:\ (x-1)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4.$$

(2)$|AB|=4$で、Cは直線AB上にある。PからABへの距離は$CP=2$以下であり、$CP\perp AB$となるS上の点Pを取れば距離2が達成される。したがって$$\triangle ABP\leqq\frac12\cdot4\cdot2=4,$$ 最大値は4。

(3)$\overrightarrow{CQ}=(u,v,w)$とおく。$\overrightarrow{CA}=(0,0,-2)$、$|CQ|=|CA|=2$だから、角条件より$$\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CA}=2\cdot2\cos\frac{\pi}{3}=2.$$ よって$-2w=2$、すなわち$w=-1$。球面上にあることから$u^2+v^2+w^2=4$なので$u^2+v^2=3$。またQのy座標は$-1+v$で、$y\geqq0$より$v\geqq1$。

$\overrightarrow{CR}=(\sqrt2,1,1)$だから、求める内積は$$\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CR}=\sqrt2u+v-1.$$ まず$$9-(\sqrt2u+v)^2=3(u^2+v^2)-(\sqrt2u+v)^2=(u-\sqrt2v)^2\geqq0$$より$\sqrt2u+v-1\leqq2$。一方$u\geqq-\sqrt{3-v^2}$かつ$v\geqq1$であり、$$(v+1)^2-2(3-v^2)=(v-1)(3v+5)\geqq0$$から$v+1\geqq\sqrt{2(3-v^2)}$。したがって$$\sqrt2u+v-1\geqq v-\sqrt{2(3-v^2)}-1\geqq-2.$$ 上端は$(u,v)=(\sqrt2,1)$、下端は$(u,v)=(-\sqrt2,1)$で実現する。許される$(u,v)$は円$u^2+v^2=3$の連結な弧なので、内積の値域は$-2\leqq\overrightarrow{CQ}\cdot\overrightarrow{CR}\leqq2$。