VI日本大学 2025年 数学 第VI問解答・解説

第6問

(1) $u>0$での接線の傾きは$f'(u)=2\log u/u$である。接線の方程式は
$$y=(\log u)^2+\frac{2\log u}{u}(x-u).$$
この直線が原点を通る条件は
$$0=(\log u)^2-2\log u=\log u(\log u-2).$$
解は$u=1,e^2$だが、傾きが正という条件から$u>1$でなければならず、$u=e^2$に定まる。従って
$$P=(e^2,f(e^2))=(e^2,4).$$

(2) 面積 線分$OP$の方程式は$y=4x/e^2$。曲線がこの線分より下にあることを確認する。$s=\log x$とおくと、$1\leqq x\leqq e^2$では$0\leqq s\leqq2$であり、
$$\frac{d}{ds}(s^2e^{2-s})=s(2-s)e^{2-s}\geqq0.$$
従って$s^2e^{2-s}\leqq4$、すなわち$(\log x)^2\leqq4x/e^2$である。よって面積は線分の下の面積から曲線の下の面積を引いて
$$\begin{aligned} \text{面積}(D) &=\int_0^{e^2}\frac{4x}{e^2}\,dx-\int_1^{e^2}(\log x)^2\,dx\\ &=2e^2-\left[x\{(\log x)^2-2\log x+2\}\right]_1^{e^2}\\ &=2e^2-(2e^2-2)=2. \end{aligned}$$$$\text{面積}(D)={\int }_0^{e^2}\frac{4x}{e^2}dx-{\int }_1^{e^2}(\log x{)}^{2}dx$$$$=2e^2-{\left[x\{(\log x{)}^2-2\log x+2\}\right]}_1^{e^2}$$$$=2e^2-(2e^2-2)=2.$$

体積 高さ$y$で水平に切ると、$0\leqq y\leqq4$における図形の$x$座標は
$$\frac{e^2y}{4}\leqq x\leqq e^{\sqrt y}.$$
実際、左端は直線$OP$上、右端は曲線$y=(\log x)^2$上である（$x\geqq1$では$\log x\geqq0$）。回転軸は$y$軸なので、この断面は内半径$e^2y/4$、外半径$e^{\sqrt y}$の円環である。円環の面積を積分すると
$$\begin{aligned} V &=\pi\int_0^4\left(e^{2\sqrt y}-\left(\frac{e^2y}{4}\right)^2\right)dy\\ &=\pi\left(\left[e^{2v}\left(v-\frac12\right)\right]_{v=0}^{2}-\frac{e^4}{16}\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^4\right)\quad(v=\sqrt y)\\ &=\pi\left(\frac32e^4+\frac12-\frac43e^4\right) =\left(\frac{e^4}{6}+\frac12\right)\pi. \end{aligned}$$$$V=\pi {\int }_0^4\left(e^{2\sqrt{y}}-{\left(\frac{e^{2}y}{4}\right)}^2\right)dy$$$$=\pi \left({\left[e^{2v}\left(v-\frac{1}{2}\right)\right]}_{v=0}^2-\frac{e^4}{16}{\left[\frac{y^3}{3}\right]}_0^4\right)(v=\sqrt{y})$$$$=\pi \left(\frac{3}{2}{e}^4+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}{e}^4\right)=\left(\frac{e^4}{6}+\frac{1}{2}\right)\pi .$$
$$\boxed{\text{面積}(D)=2,\qquad V=\left(\frac{e^4}{6}+\frac12\right)\pi}$$