4宮崎大学 2025年 数学 第4問解答・解説

$\theta$ を媒介変数として、媒介変数表示
$$\begin{cases} x=e^{-\theta}\cos\theta,\\ y=e^{-\theta}\sin\theta \end{cases} \quad\left(0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$$
の表す曲線を $C$ とする。$C$ の概形は右図のようになる。曲線 $C$ 上に点 $A$ を、$A$ における $C$ の接線が $x$ 軸と平行となるようにとる。このとき、次の各問に答えよ。

(1) 点 $A$ の座標を求めよ。

(2)
$$I=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{-t}\sin t\,dt,\quad J=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}e^{-t}\cos t\,dt$$
とするとき、
$$J-I=e^{-\dfrac{\pi}{2}}$$
が成り立つことを示せ。

(3) 曲線 $C$ と $x$ 軸および直線 $\mathrm{OA}$ で囲まれる部分の面積 $S$ の値を求めよ。