1宮崎大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\vec a=\overrightarrow{OA}$、$\vec b=\overrightarrow{OB}$、$\vec c=\overrightarrow{OC}$ とおく。$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$、$\overrightarrow{AC}=\vec c-\vec a$、$\overrightarrow{AO}=-\vec a$ なので、条件は $4(\vec b-\vec a)+5(\vec c-\vec a)=-12\vec a$。整理して $3\vec a+4\vec b+5\vec c=\vec0$、したがって $\vec c=-\frac{3\vec a+4\vec b}5$。

(2)

$A,B,C$ は半径 $1$ の円周上だから、$|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$。(1)の両辺の長さの平方より、$25=|3\vec a+4\vec b|^2=9+16+24\vec a\cdot\vec b$。よって、$\vec a\cdot\vec b=0$。$\vec a,\vec b$ は互いに垂直な単位ベクトルである。

(3)

直線 $AB$ 上の点の位置ベクトルは $(1-t)\vec a+t\vec b$。
一方、直線 $OC$ 上の点は $\lambda\vec c=-\frac\lambda5(3\vec a+4\vec b)$。
係数の和を比べて $-\frac{7\lambda}5=1$。よって、$\overrightarrow{OP}=-\frac57\vec c=\frac{3\vec a+4\vec b}7$。
$Q$ は $C$ の対蹠点だから $\overrightarrow{OQ}=-\vec c$。したがって、$PQ=1-\frac57=\frac27$。
底辺 $PQ$ を含む直線は、中心 $O$ を通る直線 $OC$ である。
半径 $1$ の円周上の $R$ からこの直線への距離 $h$ は $h\leqq1$ で、$OR$ が $OC$ に垂直な場合に限り $h=1$。
ゆえに、$S=\frac12PQ\cdot h\leqq\frac17$。
$\vec a,\vec b$ が直交単位ベクトルであることから、$\frac{4\vec a-3\vec b}5$ は長さ $1$ で、$\vec c=-\frac{3\vec a+4\vec b}5$ との内積も $0$。
したがって、等号となる $R$ は $\overrightarrow{OR}=\pm\frac{4\vec a-3\vec b}5$ の $2$ 点。