3宮崎大学 2025年 数学 第3問解答・解説

各回の取り出しは元に戻してから行うので、各回は独立であり、数の列はすべて等確率である。
(1) 全事象は $2^2=4$ 通りである。$N_1<N_2$ となるのは $(N_1,N_2)=(1,2)$ の1通りだけだから、求める確率は $\dfrac{1}{4}$ である。
(2) 全事象は $3^3=27$ 通りである。$N_3\leqq 3$ なので、条件 $N_1N_2<N_3$ を満たすには $N_1N_2=1$ または $2$ である。積が1となるのは $(N_1,N_2)=(1,1)$ の場合で、このとき $N_3=2,3$ の2通りがある。積が2となるのは $(N_1,N_2)=(1,2),(2,1)$ の場合で、いずれも $N_3=3$ の1通りずつである。したがって条件を満たす列は $2+2=4$ 通りであり、求める確率は $\dfrac{4}{27}$ である。
(3) 全事象は $5^4=625$ 通りである。$X=N_1N_2$, $Y=N_3N_4$ とおく。$1\leqq a,b\leqq5$ に対し、積 $ab=t$ となる順序つき組 $(a,b)$ の個数を $f_t$ とすると、
$$\begin{array}{c|rrrrrrr}t&1&2&3&4&5&6&8\\\hline f_t&1&2&2&3&2&2&2\\\hline t&9&10&12&15&16&20&25\\ f_t&1&2&2&2&1&2&1\end{array}$$
である。したがって $X=Y$ となる列の個数は $\sum_t f_t^2=1^2+2^2+2^2+3^2+2^2+2^2+2^2+1^2+2^2+2^2+2^2+1^2+2^2+1^2=49$ 通りである。$X<Y$ と $X>Y$ は、前半の2回と後半の2回を入れ替えることで一対一に対応する。よって $X<Y$ となる列は $(625-49)/2=288$ 通りであり、求める確率は $\dfrac{288}{625}$ である。